Integrale bei Symmetrie < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:47 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Awasa |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe einige Fragen zu Integralen und zu der Berechnung bei symmetrischen Graphen.
Zu 1: Wie genau berechne ich die Fläche unterhalb des Graphen, wenn die Funktion symmetrisch ist?
Z.B. die Funktion [mm] v(t)=0.936*0.951^t-0.117 [/mm]
Für die Untersumme von 100 haben wir nicht mit [mm] \summe_{i=0}^{99} [/mm] berechnet, sondern mit [mm] \summe_{i=1}^{100}. [/mm] Aber warum berechnet sich denn die Untersumme mit der Formel der Obersumme?
Zudem geht es noch darum, was genau man beachten muss, wenn eine Symmetrie vorliegt.
Z.B. warum betrachte ich bei einer Funktion von f(x)=-x²+8*x nur den Bereich von 3 bis 5?
___________________________________________________________
Zu 2: Ein Aufgabenteil lautet: "Bestimmen Sie näherungsweise (4 Teilintervalle) [...]"
Wie genau habe ich das Näherungsweise zu verstehen? Muss es die Unter- oder Obersumme sein, oder etwas ganz anderes?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Sa 15.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Funktion v(t) ist doch zu nichts symmetrisch, sie ist monoton fallend
Wenn du jetzt mal die oder eine andere monoton fallende fkt nimmst un bei i=0 anfängst sind alle Treppen oberhalb der fkt.
meistens fängt man mit der Integration von [mm] x^2 [/mm] an, das ist für x>0 monoton steigend und deshalb liegen die Treppen alle unterhalb.
zu deiner zweiten Frage: da muss in der Aufgabe irgendwo stehen welchen Fläche hier di zw. x=3 und x=5 man bestimmen soll. die 3 und 5 haben mit der fkt nichts zu tun.
bei näherungsweise kannst du dir aussuchen, ob du die Obersumme oder die Untersumme nimmst. beide geben eine näherung
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Awasa |
Danke für deine Antwort, allerdings konnte ich ihr wenig entnehmen, was für mich nützlich wäre.
Stimmt, die Funktion v(t) ist nicht symmetrisch. Sie stellt den Abbau von Alkohol da und hat einen einzigen Nullpunkt bei x=41,39.
Nun stelle ich mir aber die Frage, wieso man die Untersumme von 100 mit [mm] \summe_{i=1}^{100} [/mm] und nicht wie erwartet mit [mm] \summe_{i=0}^{99} [/mm] ausrechnet?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Sa 15.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal, die Untersumme ist die, die immer unterhalb des Graphen bleibt, nicht die, die mit i=0 anfangt. wenn du die fkt ungefähr zeichnest und bei i=0 anfängst, ist die werste Stufe und alle folgendem immer oberhalb, deshalb ist das die obersumme. bei einer kurve die nicht fällt, sondern wächst ist es umgekehrt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Awasa |
Ah, vielen Dank! Das hat mir etwas mehr Klarheit verschafft! Gibt es noch andere Antworten auf die anderen Fragen? Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Awasa |
Hat jemand weitere Lösungen? Wie haben ich das mit der Symmetrie zu verstehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 So 16.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hast du an meiner Antwort im ersten post zu deinen 2 weiteren Fragen nicht verstanden__
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 16.12.2012 | | Autor: | Awasa |
Ich habe das mit der Symmetrie noch nicht ganz verstanden. Ich versuche es näher zu erläutern:
In der Schule hatten wir als Beispiel eine Funktion f mit f(x)=-x²+8*x
Die Nullstellen herausgefunden (x=0 oder x=8) und so das Intervall I von [0;8] eingegrenzt.
Als Beispiel die Obersumme:
Allgemeine Formel [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] b-a/n*f(i*(b-a/n))
Ich habe mir gedacht, wenn wir es in 4 Abschnitte unterteilen sollen, dass ich das Ganze einfach einsetzen muss, also:
*Fehler gefunden* -_-
In meiner Lösung hatte ich für n über dem Summenzeichen anstatt 4 8 eingesetzt. Das erklärt auch, wieso -480 rauskommt, anstatt jetzt mit 4 80 als Ergebnis.
Ich denke, das wäre dann geklärt.
Zur Überprüfung hätte ich allerdings doch gerne Gewissheit.
Ein Formel ist gegeben: f(x)=x³-6x²+9x
Als Nullstellen x=0 und x=3, also im entsprechenden Intervall
Obersumme von 4 lässt sich dann so errechnen:
[mm] \summe_{i=1}^{4}3/4*f(i*(3/4)) [/mm] = 6,33
Ist das so richtig gerechnet und habe ich es so richtig verstanden? Bei der Symmetrie gibt es also keine Besonderheiten zu beachten, oder? Danke schonmal im vorraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 So 16.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich habe das mit der Symmetrie noch nicht ganz verstanden.
> Ich versuche es näher zu erläutern:
>
> In der Schule hatten wir als Beispiel eine Funktion f mit
> f(x)=-x²+8*x
> Die Nullstellen herausgefunden (x=0 oder x=8) und so das
> Intervall I von [0;8] eingegrenzt.
>
> Als Beispiel die Obersumme:
>
> Allgemeine Formel [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] b-a/n*f(i*(b-a/n))
>
> Ich habe mir gedacht, wenn wir es in 4 Abschnitte
> unterteilen sollen, dass ich das Ganze einfach einsetzen
> muss, also:
>
> *Fehler gefunden* -_-
>
> In meiner Lösung hatte ich für n über dem Summenzeichen
> anstatt 4 8 eingesetzt. Das erklärt auch, wieso -480
> rauskommt, anstatt jetzt mit 4 80 als Ergebnis.
>
> Ich denke, das wäre dann geklärt.
>
> Zur Überprüfung hätte ich allerdings doch gerne
> Gewissheit.
> Ein Formel ist gegeben: f(x)=x³-6x²+9x
> Als Nullstellen x=0 und x=3, also im entsprechenden
> Intervall
>
> Obersumme von 4 lässt sich dann so errechnen:
> [mm]\summe_{i=1}^{4}3/4*f(i*(3/4))[/mm] = 6,33
>
> Ist das so richtig gerechnet und habe ich es so richtig
> verstanden? Bei der Symmetrie gibt es also keine
> Besonderheiten zu beachten, oder? Danke schonmal im
> vorraus!
Hallo,
du kannst bei Funktionen, die im betrachteten Intervall ihr Monotonieverhalten ändern, nicht blindlings durchsummieren.
Für die Obersumme brauchst du den größten Funktionswert jedes Intervalls. Der liegt bei deiner Funktion f(x) mal am rechten Intervallrand (bei 0,75 im 1. Intervall), mal am linken Intervallrand
(bei 1,5 im 3. und bei 2,25 im 4. Intervall) und manchmal auch mitten im Intervall (bei der Maximumstelle x=1 im zweiten Intervall).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 So 16.12.2012 | | Autor: | Awasa |
Danke für die Antwort. Ich weiß jetzt aber trotzdem nicht, ob ich richtig gerechnet habe.
Anders aufgeschrieben sieht die Berechnung der Obersumme doch so aus:
O4=3/4*f(3/4*1)+3/4*f(3/4*2)+3/4*f(3/4*3)+3/4*f(3/4*4)=6,33
Da erhalte ich das gleiche Ergebnis. Aber anscheinend ist das so nicht richtig gerechnet, wie denn dann? Könntest du das bitte anhand des Summenzeichens oder durch eine Addition oben zeigen? Ich weiß nämlich nicht, worauf du hinaus willst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 So 16.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst ja nur eine Näherung ausrechnen, da ist deine Summe richtig. Eine Obersumme nennt man es allerdings nur, wenn alle Stufen oberhalb liegen, aber man kann auch einige unterhalb,andere oberhalb für eine Näherung nehmen, also wie du es gemacht hast.
Wenn du unbedingt eine Obersumme willst, musst du die fkt zeichnen und in jedem der 4 intervalle das größte nehmen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Awasa |
Ich habe das gerade nochmal nachgerechnet und es mir am Graphen angeschaut, es klingt logisch.
Intervall I [0;41,3892]
U100= [mm] \summe_{i=1}^{100} [/mm] 41,3892/100*v(i*(41,3892/100))
O100= [mm] \summe_{i=0}^{99} [/mm] 41,3892/100*v(i*(41,3892/100))
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
