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| Aufgabe | Sei [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] eine Regelfunktion. Sei [mm] x_0\in[a,b] [/mm] Zeigen Sie:
[mm] g:[a,b]\to\IR, x\mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{ } x\not=x_0 \mbox{ } \\ c, & \mbox{ } x=x_0 \mbox{ } \end{cases} c\in\IR [/mm] fest, ist eine Regelfunktion für die gilt
[mm] \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx [/mm] |
Hallo zusammen,
zuerst war zu zeigen, dass g eine Regelfunktion ist (das ist aber Thema eines anderen Posts von mir) deshalb soll es hier nur um die Integrale gehen, also wir gehen schon davon aus, dass g eine Regelfunktion ist.
Jetzt weiß ich nicht so genau, wie ich das zeigen kann. Wenn ich weiß, dass f und g Regelfunktionen sind, weiß ich erstmal nur, dass diese beschränkt sind und dass es jeweils eine Folge von Treppenfunktion gibt, die in der Sup. Norm gegen f bzw. g konvergiert.
Also es existieren die Treppenfunktionenfolgen [mm] (\varphi_n)_{n\in\IN}, (\varphi_k)_{k\in\IN} [/mm] für die gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vert\varphi_n-f\vert_{\infty}=0 [/mm] und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\vert\varphi_k-g\vert_{\infty}=0
[/mm]
Dabei weiß ich ja erstmal noch nicht, dass [mm] \varphi_n=\varphi_k, [/mm] das muss ich wohl erst noch zeigen oder?
Wie komme ich nun weiter?
Gruß
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> Sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] eine Regelfunktion. Sei [mm]x_0\in[a,b][/mm]
> Zeigen Sie:
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> [mm]g:[a,b]\to\IR, x\mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{ } x\not=x_0 \mbox{ } \\ c, & \mbox{ } x=x_0 \mbox{ } \end{cases} c\in\IR[/mm]
> fest, ist eine Regelfunktion für die gilt
>
> [mm]\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> zuerst war zu zeigen, dass g eine Regelfunktion ist (das
> ist aber Thema eines anderen Posts von mir) deshalb soll es
> hier nur um die Integrale gehen, also wir gehen schon davon
> aus, dass g eine Regelfunktion ist.
>
> Jetzt weiß ich nicht so genau, wie ich das zeigen kann.
> Wenn ich weiß, dass f und g Regelfunktionen sind, weiß
> ich erstmal nur, dass diese beschränkt sind und dass es
> jeweils eine Folge von Treppenfunktion gibt, die in der
> Sup. Norm gegen f bzw. g konvergiert.
>
> Also es existieren die Treppenfunktionenfolgen
> [mm](\varphi_n)_{n\in\IN}, (\varphi_k)_{k\in\IN}[/mm] für die
> gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vert\varphi_n-f\vert_{\infty}=0[/mm]
> und
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\vert\varphi_k-g\vert_{\infty}=0[/mm]
>
> Dabei weiß ich ja erstmal noch nicht, dass
> [mm]\varphi_n=\varphi_k,[/mm] das muss ich wohl erst noch zeigen oder?
Der Satz macht nur eine Existenzaussage über solche Treppenfunktionenfolgen. Wie die aussehen ist erstmal dahingestellt.
Gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vert\varphi_n-f\vert_{\infty}=0, [/mm] dann lässt sich i. A. nur eine zu [mm] \varphi_n [/mm] 'ähnliche' Folge [mm] \psi_n [/mm] von Treppenfunktionen finden, für die gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vert\psi_n-g\vert_{\infty}=0. [/mm] In einer (für große n kleinen) lokalen Umgebung von [mm] x_0 [/mm] unterscheiden sich die Treppenfunktionenfolgen falls [mm] f(x_0)\neq g(x_0)=c. [/mm]
>
> Wie komme ich nun weiter?
Die Aussage oben gilt allgemeiner für Riemann-integrierbare Funktionen f, bei denen man einen Funktionswert zur Funktion g abändert:
Infimum von Obersumme sowie Supremum der Untersumme stimmen bei f und g überein.
Beweis (Idee): Wenn die Zerlegung von [a,b] sehr fein (Feinheit [mm] \leq [/mm] h) ist, dann unterscheidet sich der Wert der Obersummen (Untersummen analog) von f und g maximal um [mm] |f(x_0)-g(x_0)|*h. [/mm] Nun h gegen 0 laufen lassen.
So kann man sogar zeigen, dass man bis zu abzählbar unendlich viele Punkte verändern darf.
>
> Gruß
LG
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Hi,
f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] und g:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit $ [mm] g:[a,b]\to\IR, x\mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{ } x\not=x_0 \mbox{ } \\ c, & \mbox{ } x=x_0 \mbox{ } \end{cases} c\in\IR [/mm] $ besagt doch eigentlich schon, dass die beiden Funktionen Riemannint.bar sind. Damit gelten die Sätze zu Riem.int.baren Funktionen. Und da nun genau [mm] g_{x_{0}} \not= f_{x_{0}} [/mm] ist, ist [mm] Ig_{x_{0}}I \not= If_{x_{0}}I [/mm] = 1 < [mm] \infty [/mm] (also die Anzahl der abweichenden Punkte ist endlich).
Und das besagt ja der Satz .... aus der Vorlesung, also dass das Integral zweier FKTs gleich ist, wenn nur eine endliche Anzahl von FKT-Werten abweichen.
Sollte das nicht alles sein was zu argumentieren ist, die endliche Anzahl?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] und g:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] mit [mm]g:[a,b]\to\IR, x\mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{ } x\not=x_0 \mbox{ } \\ c, & \mbox{ } x=x_0 \mbox{ } \end{cases} c\in\IR[/mm]
> besagt doch eigentlich schon, dass die beiden Funktionen
> Riemannint.bar sind. Damit gelten die Sätze zu
> Riem.int.baren Funktionen. Und da nun genau [mm]g_{x_{0}} \not= f_{x_{0}}[/mm]
> ist, ist [mm]Ig_{x_{0}}I \not= If_{x_{0}}I[/mm] = 1 < [mm]\infty[/mm] (also
> die Anzahl der abweichenden Punkte ist endlich).
> Und das besagt ja der Satz .... aus der Vorlesung, also
> dass das Integral zweier FKTs gleich ist, wenn nur eine
> endliche Anzahl von FKT-Werten abweichen.
> Sollte das nicht alles sein was zu argumentieren ist, die
> endliche Anzahl?
Doch, das reicht
FRED
>
> Grüße
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