Integralformel von Cauchy < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Di 14.05.2013 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | Hey!!
Es hängt bei mir: Ich soll $ [mm] \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{1}{z^4-1} dz} [/mm] $ mit der Cauchy-Integralformel bestimmen, wobei $ [mm] \partial B_2(0) [/mm] $ den Weg $ [mm] \gamma :[0,1]\to \IC [/mm] ,\ [mm] \gamma [/mm] (t)= [mm] 2e^{2\pi it} [/mm] $ bezeichnet. |
Leider kann ich das Integral nicht umformen: $ [mm] \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{1}{z^4-1} dz} [/mm] = [mm] \dots \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{\bruch{1}{(z^2+1)(z+1)}}{z-1} dz} [/mm] $,
weil der Zähler, also das $ f(z) $ in der Cauchy-Formel z.B. für $ z=-1 $ eine Deifinitionslücke hat. Aber es ist ja $ -1 [mm] \in B_2(0) [/mm] $ und auf ganz $ [mm] B_2(0) [/mm] $ muss $ f $ (der Zähler) ja holomorph sein. Aber an einem Punkt, an dem eine Funktion nicht definiert ist, kann sie ja schlecht holomorph sein...
Kann mir jemand helfen?
GLG Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey!!
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> Es hängt bei mir: Ich soll [mm]\integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{1}{z^4-1} dz}[/mm]
> mit der Cauchy-Integralformel bestimmen, wobei [mm]\partial B_2(0)[/mm]
> den Weg [mm]\gamma :[0,1]\to \IC ,\ \gamma (t)= 2e^{2\pi it}[/mm]
> bezeichnet.
> Leider kann ich das Integral nicht umformen:
> [mm]\integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{1}{z^4-1} dz} = \dots \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{\bruch{1}{(z^2+1)(z+1)}}{z-1} dz} [/mm],
Das ist doch Unfug !!
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> weil der Zähler, also das [mm]f(z)[/mm] in der Cauchy-Formel z.B.
> für [mm]z=-1[/mm] eine Deifinitionslücke hat. Aber es ist ja [mm]-1 \in B_2(0)[/mm]
> und auf ganz [mm]B_2(0)[/mm] muss [mm]f[/mm] (der Zähler) ja holomorph sein.
> Aber an einem Punkt, an dem eine Funktion nicht definiert
> ist, kann sie ja schlecht holomorph sein...
>
> Kann mir jemand helfen?
Zauberwort: Partialbruchzerlegung. Die Lösungen der Gl [mm] z^4-1=0 [/mm] sind
[mm] $\pm1$ [/mm] und $ [mm] \pm [/mm] i$
Finde nun Zahlen a,b,c und d mit:
[mm] \bruch{1}{z^4-1}=\bruch{a}{z-1}+\bruch{b}{z+1}+\bruch{c}{z-i}+\bruch{d}{z+i}
[/mm]
Für $w [mm] \in \{1,-1,i,-i\}$ [/mm] ist
$ [mm] \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{1}{z-w} dz}=2 \pi [/mm] i$
Warum ?
FRED
>
> GLG Sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Di 14.05.2013 | | Autor: | saendra |
Ahhh okay, die die Partialbruchzerlegung hatte ich schon durchgeführt, aber dass $ [mm] \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{1}{z-w} dz}=2 \pi [/mm] i $ für $ w [mm] \in \{1,-1,i,-i\} [/mm] $ gilt hatte ich vergessen. Das gilt nämlich weils bei uns im Skipt steht 
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ahhh okay, die die Partialbruchzerlegung hatte ich schon
> durchgeführt, aber dass [mm]\integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{1}{z-w} dz}=2 \pi i[/mm]
> für [mm]w \in \{1,-1,i,-i\}[/mm] gilt hatte ich vergessen.
> Das gilt
> nämlich weils bei uns im Skipt steht
Das ist ja eine waaaaahnsinig tolle Begründung !
FRED
>
> Vielen Dank!
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