Integralfunktion ermitteln < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Sa 06.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Sei f:[0,8]-R. Ermitteln sie die Integralfunktion F zu f mit F(0)=0. Also [mm] F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] und zeichnen Sie die Graphen von f und F. Ist F differenzierbar auf [0,8]?
f(x) ist folgendermaßen definiert:
f(x)= 1 für 0<=x<2, f(x)=3-x für 2<=x<4, f(x)=-1 für 4<=x<=8
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Wie gehe ich jetz am besten vor, nachdem ich f(x) mal gezichnet habe?
Die Stammfunktionen habe ich jeweils schon gebildet. Wie gehts jetzt weiter?
(Stammfunktionen G1(x)=x, [mm] G2(x)=3x-\bruch{1}{2}x^{2}, [/mm] G3(x)=-x)
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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Also, du bist mit den Stammfunktionen noch nicht ganz fertig!
Du hast drei einzelne Funktionen, allerdings müssen die sich berühren. Bei x=2 passiert das schon alleine, aber bei x=4 mußt du noch etwas nachhelfen, indem du da noch eine Konstante zur 3. Funktion addierst.
Schließlich möchtest du ja Flächen berechnen, und das geht nur, wenn die Stammfunktion auch stetig ist.
Differenzierbar ist die Integralfkt. auch, schließlich ist die Funktion selbst stetig. Hätte f Sprünge, dann hätte F Knicke. Knicke in f werden aber zu "runden" Übergängen in F.
Das hast du hier auch: F besteht aus einer steigenden Graden, geht dann glatt in eine Parabel über, die dann glatt in eine fallende Grade übergeht. Keine Knicke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 06.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | ok, dass ich da keine Knicke haben will und alles stetig sein muss, habe ich ja verstanden. |
Aber wie gehe ich jetz konkret vor? Irgendwann muss ich schließlich doch mal das Integral [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] lösen.
Und das ist bestimmt nicht = Integral [mm] \integral_{0}^{2}{1 dt}+\integral_{2}^{4}{3-x dt}+ \integral_{4}^{8}{-1 dt}
[/mm]
Wie komme ich denn zu den benötigten Konstanten?
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Eigentlich hat Event_Horizon schon alles gesagt. Eine Integralfunktion einer stetigen Funktion ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung von ganz alleine differenzierbar, erst recht also stetig. Und sie ist eine Stammfunktion des Integranden. Aber nicht irgendeine! Sondern eine ganz bestimmte. Nämlich diejenige, die an der unteren Integralgrenze den Wert 0 liefert. Wenn du jetzt die Funktion
[mm]F(x) = \begin{cases} x & \mbox{für} \ 0 \leq x < 2 \\ 3x - \frac{1}{2} \, x^2 & \mbox{für} \ 2 \leq x < 4 \\ -x & \mbox{für} \ 4 \leq x \leq 8 \end{cases}[/mm]
nimmst, so paßt einiges schon, anderes nicht. [mm]F(0) = 0[/mm] paßt (an der untere Grenze muß die Integralfunktion 0 ergeben). Auch ist [mm]F(x)[/mm] an allen Stellen [mm]\neq 2;4[/mm] differenzierbar und hat auch [mm]f(x)[/mm] als Ableitung. Leider ist [mm]F[/mm] an den Stellen 2 und 4 nicht differenzierbar, ja nicht einmal stetig! [mm]F[/mm] macht an diesen Stellen Sprünge.
Mache zur Korrektur den folgenden Ansatz:
[mm]F(x) = \begin{cases} x & \mbox{für} \ 0 \leq x < 2 \\ 3x - \frac{1}{2} \, x^2 + C_1 & \mbox{für} \ 2 \leq x < 4 \\ -x + C_2 & \mbox{für} \ 4 \leq x \leq 8 \end{cases}[/mm]
Bestimme zunächst die Konstante [mm]C_1[/mm] so, daß der Sprung an der Stelle 2 verschwindet. Bestimme danach [mm]C_2[/mm] so, daß auch noch der Sprung an der Stelle 4 verschwindet (eine Skizze hilft!). Dann ist [mm]F[/mm] stetig. Differenzierbar ist [mm]F[/mm] nach dem Hauptsatz dann von alleine.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 So 07.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Ich habe jetz mal folgenden Ansatz:
[mm] F(x)=\begin{cases} F1(x)=x, & \mbox{für } 0 <=x<2, & F2(x)=x-\bruch{1}{2}x^{2}+C2& \mbox{für } 2<=x<4, &
F3(x)=-x+C3& \mbox{für } 4<=x<=8
\end{cases} [/mm] |
Nach dem ich diese Funktionen mal gezeichnet habe, wurde mir deutlich:
F1(0)=0 und F1(x)=x
[mm] F2(x)=3x-\bruch{1}{2}x^{2}+C2 [/mm] mit C2=F1(2)=2
also: [mm] F2(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+3x+2
[/mm]
F3(x)=-x+C3 mit C3=F2(4)=6
also: F3(x)=-x+6
Sind so die Integralfunktionen korrekt?
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Zunächst stört, daß du [mm]F_1,F_2,F_3[/mm] schreibst. Das scheint mir auf ein falsches Verständnis des Funktionsbegriffs hinzudeuten. Bei der Integralfunktion handelt es sich nur um eine Funktion [mm]F[/mm], nicht um drei verschiedene. Für die verschiedenen Intervalle sind lediglich verschiedene Terme zuständig. Schreibe das so, wie von mir vorgeschlagen.
Und wo ist beim Term für das zweite Intervall der Koeffizient 3 geblieben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 07.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ok, Koeffizient 3 hatte ich vergessen.
Dann schreibe ich das jetz mal um:
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Nach Bestimmung der beiden Konstanten wie in meinem vorherigen Beitrag erhalte ich dann also:
[mm] F(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0<=x<2, &
-\bruch{1}{2}x^{2}+3x+2, & \mbox{für } 2<=x<4, &
-x+6, & \mbox{für } 4<=x<=8
\end{cases}
[/mm]
jetz korrekt?
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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