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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Di 11.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
Hallo,
ich stoße vermehrt auf Aufgaben, bei denen die Integralgrenzen zu bestimmen sind.
Bspw: Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, der durch die Flächen z = 2x, [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1,
z = 0 und y = 0 begrenzt wird.
Als Integralgrenzen würde ich hierbei für z(0 bis 2x) nehmen, für y (0 bis 1-x) (da ich die Wurzel aus dem Parabelterm [mm] x^2 +y^2 [/mm] = 1 ziehe und umforme). Aber selbst dann komme ich auf eine Integralgrenze für x von 1 aber keiner anderen grenze.
Sind meine Grenzen bis hierhin ok?
Ein anderes Integral lautet:
Man bestimme das Volumen des Körpers, der durch die Fläche
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^2 [/mm] = a^3x ; a>0
begrenzt wird.
Wie stelle ich denn hieraus die Integrationsgrenzen auf?
Wenn hier jemand anstatt einem Tipp das tatsächlich mal tun könnte wäre ich sehr dankbar, da ich es meistens einmal praktisch sehen muss bevor ich es verstehe.
Ein anderes und hoffentlich letztes Thema das ich frage:
Wenn ich eine Extremwertaufgabe habe:
Gesucht sind die Extrema folgender Funktion:
z = sin x + sin y + sin(x + y) ; 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi/2 [/mm] ;
o [mm] \le [/mm] y [mm] \le \pi/2
[/mm]
Wie bringe ich diese doch relativ lose Wertvorgabe in die Funktion bzw. in die Nebenbedingung?? Dadurch dass nur ein Bereich angegeben ist, bin ich ziemlich verwirrt.
Mit freundlichen Grüßen
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Hallo FHTuning,
> Hallo,
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> ich stoße vermehrt auf Aufgaben, bei denen die
> Integralgrenzen zu bestimmen sind.
>
> Bspw: Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, der durch die
> Flächen z = 2x, [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1,
> z = 0 und y = 0 begrenzt wird.
>
> Als Integralgrenzen würde ich hierbei für z(0 bis 2x)
> nehmen, für y (0 bis 1-x) (da ich die Wurzel aus dem
> Parabelterm [mm]x^2 +y^2[/mm] = 1 ziehe und umforme). Aber selbst
> dann komme ich auf eine Integralgrenze für x von 1 aber
> keiner anderen grenze.
Betrachte hier den Wurzelterm [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm].
Dann bekommst Du auch die Grenzen für x heraus.
>
> Sind meine Grenzen bis hierhin ok?
>
> Ein anderes Integral lautet:
> Man bestimme das Volumen des Körpers, der durch die
> Fläche
> [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^2[/mm] = a^3x ; a>0
> begrenzt wird.
>
> Wie stelle ich denn hieraus die Integrationsgrenzen auf?
Nun, hier ist es meines Erachtens nach angebracht,
gleich Kugelkoordinaten zu verwenden.
[mm]x=r*\cos\left(\varphi\right)*\cos\left(\theta\right)[/mm]
[mm]y=r*\sin\left(\varphi\right)*\cos\left(\theta\right)[/mm]
[mm]z=r*\sin\left(\theta\right)[/mm]
Dann steht da:
[mm]r^{4}=a^{3}*r*\cos\left(\varphi\right)*\cos\left(\theta\right)[/mm]
Daraus bestimmen sich die Grenzen für r:
[mm]r^{4}-a^{3}*r*\cos\left(\varphi\right)*\cos\left(\theta\right)=0[/mm]
[mm]\gdw r*\left(r^{3}-a^{3}*\cos\left(\varphi\right)*\cos\left(\theta\right)\right)=0[/mm]
> Wenn hier jemand anstatt einem Tipp das tatsächlich mal
> tun könnte wäre ich sehr dankbar, da ich es meistens
> einmal praktisch sehen muss bevor ich es verstehe.
> Ein anderes und hoffentlich letztes Thema das ich frage:
>
> Wenn ich eine Extremwertaufgabe habe:
> Gesucht sind die Extrema folgender Funktion:
>
> z = sin x + sin y + sin(x + y) ; 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \pi/2[/mm] ;
> o [mm]\le[/mm] y [mm]\le \pi/2[/mm]
>
> Wie bringe ich diese doch relativ lose Wertvorgabe in die
> Funktion bzw. in die Nebenbedingung?? Dadurch dass nur ein
> Bereich angegeben ist, bin ich ziemlich verwirrt.
Hier sind die möglichen Extrema im Bereich [mm]\left[0,\bruch{\pi}{2} \right]\times\left[0,\bruch{\pi}{2} \right][/mm] zu suchen.
Konkret sind hier die Lösungen von
[mm]\bruch{\partial z}{\partial x}\left(x,y\right)=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial z}{\partial y}\left(x,y\right)=0[/mm]
in diesem Bereich zu ermitteln.
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> Mit freundlichen Grüßen
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>
>
Gruss
MathePower
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