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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Surfer |
Hallo, bin gerade wieder in einer Aufgabe auf ein Integral gestoßen, das mein Prof immer gleich fertig integriert anschreibt, anstatt zu zeigen, wie er darauf gekommen ist:
und zwar:
[mm] \integral_{}^{}{sin\phi cos^{2}\phi d\phi} [/mm] = [mm] [-\bruch{1}{3}cos^{3}\phi] [/mm] aber woher weiss ich das, gibt es da irgendwie ne schnellere Möglichkeit das zu sehen oder muss ich bei so etwas jedes mal mit der partiellen Integration ran?
lg Surfer
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Nunja, vermutlich hat er es einfach so rangeschrieben weil es einfach so zu sehen ist.
Du hast einen Term [mm] irgendwas^{2} [/mm] im Integral. Also hast du in der Stammfkt.
[mm] \bruch{1}{3} irgendwas^{3} [/mm] - das ist schonmal klar.
Da das "irgendwas" hier selbst eine Funktion ist (nämlich cosinus) kommt die Kettenregel ins Spiel.
Im Integral musst du also neben [mm] irgendwas^{2} [/mm] (was wie gesagt die Ableitung von [mm] \bruch{1}{3} irgendwas^{3} [/mm] ist), zusätzlich noch die Ableitung von "irgendwas" selbst vorfinden.
Da "irgendwas" in diesem Fall cosinus ist, ist die Ableitung von irgendwas -sinus.
Jetzt schaust du ins Integral und findest dort kein -sinus, sondern ein +sinus. Daher lautet die Stammfkt. wohl [mm] -\bruch{1}{3} irgendwas^{3} [/mm] statt [mm] \bruch{1}{3} irgendwas^{3}.
[/mm]
Du kannst natürlich auch rechnerisch an die Sache rangehen...aber in diesem Fall ist es direkt zu sehen für einen geübten Blick, den man entwickelt je länger man sich mit Integralen beschäftigt=)
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