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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Fr 10.02.2006 | | Autor: | f00 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{cos(2x) \* cos(3x) dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi, .. welches sinnvolle additionstheorem könnte da greifen um dieses integral
anschliessend problemlos zu lösen ???
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Hallo f00,
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{cos(2x) \* cos(3x) dx}[/mm]
> hi, .. welches sinnvolle additionstheorem könnte da greifen
> um dieses integral
> anschliessend problemlos zu lösen ???
Bei Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen kann man beim Integrieren manchmal sehr lange rumprobieren ohne zu einer Lösung zu kommen. In diesem Falle kann man auch durch Raten zur Lösung kommen. Dazu differenzieren wir erstmal den Integranden:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\cos(2x)\cos(3x) = -2\sin(2x)\cos(3x) - 3\cos(2x)\sin(3x)[/mm]
So ... jetzt wissen wir ja, daß
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\sin x = \cos x[/mm]
und
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\cos x = -\sin x[/mm]
gilt.
Oben habe ich ja bloß die Produktregel benutzt:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[/mm]
und was wäre wenn für [mm]g'(x)[/mm] [mm]\cos(3x)[/mm] rauskommen sollte? Tja, dann hätte ich wohl vorher [mm]\cos(2x)\frac{1}{3}\sin(3x)[/mm] ableiten sollen:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\cos(2x)\frac{1}{3}\sin(3x) = -\frac{2}{3}\sin(2x)\sin(3x) + \cos(2x)\cos(3x)[/mm]
Dann gilt aber im Umkehrschluß:
[mm]\int{\left(-\frac{2}{3}\sin(2x)\sin(3x) + \cos(2x)\cos(3x)\right)\mathrm{d}x}[/mm]
[mm]= -\frac{2}{3}\int{\sin(2x)\sin(3x)\mathrm{d}x} + \int{\cos(2x)\cos(3x)\mathrm{d}x}=\frac{1}{3}\cos(2x)\sin(3x)[/mm]
Tja, was machen wir jetzt mit dem Integral:
[mm]\int{\sin(2x)\sin(3x)\mathrm{d}x}[/mm]?
Wir können ja denselben "Trick" wie oben probieren, und schauen was am Besten zur Produktregel passt, um den Integranden zu erhalten. Wie wäre es z.B. mit [mm]\sin(2x)\left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right)[/mm]?
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\sin(2x)\left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) = 2\cos(2x)\left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) + \sin(2x)\sin(3x)[/mm]
Also:
[mm]-\frac{2}{3}\int{\cos(2x)\cos(3x)\mathrm{d}x} + \int{\sin(2x)\sin(3x)\mathrm{d}x} = -\frac{1}{3}\sin(2x)\cos(3x)[/mm]
Und jetzt betrachten wir die Gleichungen, die wir oben und hier rausgekriegt haben, nebeneinander:
(I) [mm]-\frac{2}{3}\int{\sin(2x)\sin(3x)\mathrm{d}x} + \int{\cos(2x)\cos(3x)\mathrm{d}x}=\frac{1}{3}\cos(2x)\sin(3x)[/mm]
(II) [mm]-\frac{2}{3}\int{\cos(2x)\cos(3x)\mathrm{d}x} + \int{\sin(2x)\sin(3x)\mathrm{d}x} = -\frac{1}{3}\sin(2x)\cos(3x)[/mm]
Dann erhalten wir wegen der Linearität der Integration:
[mm]\frac{3}{2}\left(\texttt{I}\right)+\left(\texttt{II}\right):\quad\frac{3}{2}\int{\cos(2x)\cos(3x)\mathrm{d}x} - \frac{2}{3}\int{\cos(2x)\cos(3x)\mathrm{d}x} = \frac{1}{2}\cos(2x)\sin(3x) - \frac{1}{3}\sin(2x)\cos(3x)[/mm]
[mm]\gdw \frac{5}{6}\int{\cos(2x)\cos(3x)\mathrm{d}x} = \frac{1}{2}\cos(2x)\sin(3x) - \frac{1}{3}\sin(2x)\cos(3x)[/mm]
[mm]\int{\cos(2x)\cos(3x)\mathrm{d}x} = \frac{3}{5}\cos(2x)\sin(3x) - \frac{2}{5}\sin(2x)\cos(3x)[/mm]
Das wäre es dann... Man kann bei trigonometrischen Funktionen oft ihre Periodizität nutzen.
Grüße
Karl
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Oder man nützt Symmetrieeigenschaften von
[mm]f(x) = \cos{(3x)} \cos{(2x)}[/mm]
aus:
[mm]f( \pi + x ) = \cos{(3x + 3 \pi)} \cos{(2x + 2 \pi)} = - \cos{(3x)} \cos{(2x)}[/mm]
[mm]f( \pi - x ) = \cos{(-3x + 3 \pi)} \cos{(-2x + 2 \pi)} = - \cos{(3x)} \cos{(2x)}[/mm]
Dies zeigt:
(I) [mm]f( \pi + x ) = f( \pi - x )[/mm]
Ferner:
[mm]f \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos{\left( 3x + \frac{3}{2} \pi \right)} \cos{(2x + \pi)} = - \sin{(3x)} \cos{(2x)}[/mm]
[mm]f \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos{\left( -3x + \frac{3}{2} \pi \right)} \cos{(-2x + \pi)} = \sin{(3x)} \cos{(2x)}[/mm]
Dies zeigt:
(II) [mm]f \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = - f \left( \frac{\pi}{2} - x \right)[/mm]
Die Beziehungen gelten jeweils für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm].
Zunächst wird (I), dann (II) verwendet:
[mm]\int_0^{2 \pi}~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ 2 \int_0^{\pi}~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ 2 \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}}~f(x)~\mathrm{d}x \ + \ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}~f(x)~\mathrm{d}x \right) \ = \ 0[/mm]
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