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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Do 16.02.2006 | | Autor: | Tin-Chen |
| Aufgabe | Die Graphen einer Schar ganzrationaler Funktion 4. Grades haben im Ursprung einen Sattelpunkt S und einen zweiten Wendepunkt W für x=t (t>0). Die Wendetangente in W hat die Steigung t.
a) Bestimmen sie die Gleichung ft
b) Duskutieren Sie ft, Zeichnen Sie den Graphen von f2 im Intervall [-2/4]
c) Der Graph von ft schließt mit der x-Achse im 1. Feld eine Fläche ein. Zeigen Sie, dass die Gerade durch den zweiten Wendepunkt W und dem von S verschiedenen Schnittpunkt mit der x-Achse diese Fläche in zwei inhaltgleiche Flächen aufteilt. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich a) und b) shcon gemacht, a) in der Schule (das ist also richtig) und b) zu Hause. Nun habe ich in b) versucht dem Graph zu zeichnen und bekomme das irgendwie nicht hin. Meine Punkte sind N1(0/0), N2 (2t/0), [mm] H(\bruch{3}{2}t/\bruch{27}{32}t^2), W(t/\bruch{1}{2}t^2)
[/mm]
Wemmi ch diese Punkte nun einzeichne, dann kann ich die gar nicht miteinander verbinden. Allerdings wäre das wichtig, weil ich sonst nicht weiß wie ich c) machen soll, wo ist denn diese Fläche und so? Ich kann mir das nicht vorstellen. Unsere Lehrerin hat uns noch folgendes gegeben:
[mm] g(x)=-\bruch{t}{2}x+t^2 [/mm] und [mm] W(t/\bruch{t^2}{2}) [/mm] und N(2t/0)
Was ich damit machen soll, hab ich auch nciht verstanden. Könnt ihr mir dabei helfen?
Danke schonmal
Tina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Do 16.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Tina,
das ist ja 'ne ganz schön kniffelige Aufgabe... mal der Reihe nach!
> Die Graphen einer Schar ganzrationaler Funktion 4. Grades
> haben im Ursprung einen Sattelpunkt S und einen zweiten
> Wendepunkt W für x=t (t>0). Die Wendetangente in W hat die
> Steigung t.
> a) Bestimmen sie die Gleichung ft
Ich habe [mm] $f_{t}(x)=-\bruch{x^4}{2t^{2}}+\bruch{x^{3}}{t}$, [/mm] kommt das hin?
> b) Diskutieren Sie ft, Zeichnen Sie den Graphen von f2 im
> Intervall [-2/4]
> bei dieser Aufgabe habe ich a) und b) shcon gemacht, a) in
> der Schule (das ist also richtig) und b) zu Hause. Nun habe
> ich in b) versucht dem Graph zu zeichnen und bekomme das
> irgendwie nicht hin. Meine Punkte sind N1(0/0), N2 (2t/0),
> [mm]H(\bruch{3}{2}t/\bruch{27}{32}t^2), W(t/\bruch{1}{2}t^2)[/mm]
Alles richtig! 
Aber warum kannst du den Graphen von [mm] $f_{2}(x)$ [/mm] nicht zeichnen? Rechne dir doch noch ein paar zusätzliche $y$-Werte aus oder benutze einen Funktionenplotter für den PC. Am Graphen von [mm] $f_{2}(x)$ [/mm] sieht man wirklich sehr schön, was bei c) passieren soll...
> c) Der Graph von ft schließt mit der x-Achse im 1. Feld
> eine Fläche ein. Zeigen Sie, dass die Gerade durch den
> zweiten Wendepunkt W und dem von S verschiedenen
> Schnittpunkt mit der x-Achse diese Fläche in zwei
> inhaltgleiche Flächen aufteilt.
> Unsere Lehrerin hat uns noch folgendes
> gegeben:
> [mm]g(x)=-\bruch{t}{2}x+t^2[/mm] und [mm]W(t/\bruch{t^2}{2})[/mm] und
> N(2t/0)
> Was ich damit machen soll, hab ich auch nciht verstanden.
$g(x)$ ist die Gleichung der Geraden, die durch den Wendepunkt $W$ und durch die zweite Nullstelle bei [mm] $x_{0}=2t$ [/mm] geht. Aus zwei Punkten kann man doch eine Geradengleichung aufstellen mit Hilfe der "Zwei-Punkte-Form" (ich weiß nicht, ob man das heutzutage noch so nennt...) 
Falls du trotzdem Schwierigkeiten dabei hast, den Term für $g(x)$ nachzuvollziehen, dann frag bitte nochmal nach...
Wenn du dir den Graphen für [mm] $f_{2}(x)$ [/mm] aufgezeichnet hast, siehst du sofort, welche Flächen gemeint sind. (Ich würde dir gern einen Computerplot mit dem Graphen und der Geraden $g$ posten, aber ich weiß nicht inwieweit das rechtlich in Ordnung geht?! - Hast du wirklich kein Programm, das sowas kann?)
Es läuft auf jeden Fall auf den Vergleich zweier Integrale hinaus (nach dem Zeichnen siehst du das bestimmt sofort!):
[mm] $\int_{0}^{t}f_{t}(x)\ dx+\int_{t}^{2t}g(x)\ dx=\int_{t}^{2t}f_{t}(x)-g(x)\ [/mm] dx$
Das musst du zeigen, indem du beide Seiten der Gleichung berechnest!
Frag bitte nochmal nach, wenn dir etwas unklar geblieben ist, ok?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Do 16.02.2006 | | Autor: | Tin-Chen |
Also, da ich nciht weiß, wie man dieses [mm] \Integral_{t}^{2t}{f(x) + d(x) dx} [/mm] rechnet, hab ich mir gedacht, dass ich ja auch [mm] \Integral_{0}^{t}{f(x) dx} [/mm] rechnen kann und das plus das rechtwinklige dreieck, das dann noch übrigbleibt (t). Dann rechnet man das Intergral von [mm] \integral_{0}^{2t}{f(x) dx}, [/mm] und das müsste doch dann das doppelte von dem vorherigem sein. (Zumindest glaube ich das)
Bei dem ersten hab ich raus: [mm] -\bruch{t^7}{10} [/mm] + [mm] \bruch{t^3}{4} [/mm] + t
Bei dem zweiten: [mm] -\bruch{32t^7}{10}+4t^3
[/mm]
Aber das ist ja net das doppelte... was hab ich jetzt falsch gemacht?
Danke
Tina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Do 16.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Tina,
so spät noch bei der Arbeit?
Zum Thema:
> Also, da ich nciht weiß, wie man dieses
> [mm]\Integral_{t}^{2t}{f(x) + d(x) dx}[/mm] rechnet, hab ich mir
> gedacht, dass ich ja auch [mm]\Integral_{0}^{t}{f(x) dx}[/mm]
> rechnen kann und das plus das rechtwinklige dreieck, das
> dann noch übrigbleibt (t). Dann rechnet man das Intergral
> von [mm]\integral_{0}^{2t}{f(x) dx},[/mm] und das müsste doch dann
> das doppelte von dem vorherigem sein. (Zumindest glaube ich
> das)
Das ist völlig richtig und vielleicht sogar einfacher als das, was ich vorgeschlagen hatte (ich habe es auch nicht selbst gerechnet, sondern rechnen lassen!)
> Bei dem ersten hab ich raus: [mm]-\bruch{t^7}{10}[/mm] + [mm]\bruch{t^3}{4}[/mm] + t
Wie kommst du auf Terme mit [mm] $t^{7}$ [/mm] ??? Wir integrieren über $x$, eine Stammfunktion von [mm] $f_{t}(x)$ [/mm] wäre z.B. [mm] $F_{t}(x)=-\bruch{x^{5}}{10t^{2}}+\bruch{x^{4}}{4t}$. [/mm] Du siehst, da können unmöglich Terme wie [mm] $t^{7}$ [/mm] herauskommen, auch wenn man die Dreiecksfläche dazunimmt...
Die Fläche des Dreiecks wäre ja einfach die Hälfte des Produkts der Katheten...
> Bei dem zweiten: [mm]-\bruch{32t^7}{10}+4t^3[/mm]
> Aber das ist ja net das doppelte... was hab ich jetzt
> falsch gemacht?
Beim Integrieren muss einiges schief gelaufen sein (check unbedingt mal deine Stammfunktion!). Du müsstest als (halbe) Fläche [mm] $\bruch{2}{5}t^{3}$ [/mm] herauskriegen.
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 16.02.2006 | | Autor: | Tin-Chen |
mh... wenn ich das mit der stammfunktion mache, dann bekomm ich beim ersten 3/20 [mm] t^3 [/mm] +t heraus und nicht [mm] 2/5t^3... [/mm] keine ahnung was ich nun schon wieder falsch mache... beim 2ten bekomm ich 4/5 [mm] t^3 [/mm] raus... :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Do 16.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Tina,
> mh... wenn ich das mit der stammfunktion mache, dann bekomm
> ich beim ersten 3/20 [mm]t^3[/mm] +t heraus und nicht [mm]2/5t^3...[/mm]
Das Integral stimmt, aber die Dreiecksfläche ist doch nicht $t$ ?!
Die Dreiecksfläche ist [mm] $\bruch{1}{2}\cdot t\cdot \bruch{t^{2}}{2}$ [/mm] (wie gesagt, die Hälfte des Produkts der beiden Katheten!).
Und wenn du die zu dem Integralwert addierst, hast du doch die gewünschten [mm] $\bruch{2}{5}t^{3}$.
[/mm]
> keine ahnung was ich nun schon wieder falsch mache... beim
> 2ten bekomm ich 4/5 [mm]t^3[/mm] raus... :-/
Das habe ich auch heraus!
Damit haben wir's, oder?
MFG,
Yuma
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