Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mo 12.06.2006 | | Autor: | HS86 |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \integral_{1}^{3} (x^3 [/mm] + [mm] \bruch{3}{x^3} [/mm] + [mm] e^\bruch{x}{3} [/mm] ) dx |
Hallo,
ich hab keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen soll...
Kann mir bitte jemand helfen?
MfG
|
|
| |
|
divide et impere!
> [mm]\integral_{1}^{3} (x^3 + \bruch{3}{x^3} + e^\bruch{x}{3}) dx[/mm]
[mm]=\integral_{1}^{3}x^3 dx + \integral_{1}^{3} \bruch{3}{x^3} dx + \integral_{1}^{3} e^\bruch{x}{3} dx[/mm]
Die Einzelintegrale sind nun ganz einfach
Gruß
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 12.06.2006 | | Autor: | HS86 |
Danke erst mal...
> > [mm]\integral_{1}^{3} (x^3 + \bruch{3}{x^3} + e^\bruch{x}{3}) dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{1}^{3}x^3 dx + \integral_{1}^{3} \bruch{3}{x^3} dx + \integral_{1}^{3} e^\bruch{x}{3} dx[/mm]
Aber was kommt dann??
Die Stammfunktion von z. B. [mm] \integral_{1}^{3} x^3 dx [/mm] ist doch [mm] \bruch{1}{4} x^4 [/mm] ...oder??
Wo müßte ich jetzt die 1 und 3 einsetzen??? In die Stammfunktion???
Und was sagt das Ergebnis [mm] \bruch{1}{4} 3^4 [/mm] = 20,25 und [mm] \bruch{1}{4} 1^4 [/mm] = 0,25 dann aus???
Wahrscheinlich is das ja total einfach, aber in Mathe bin ich einfach mal nur schlecht...
MfG
|
|
|
| |
|
Die Stammfunktion ist schon mal richtig und für das 1. Integral auch korrekt.
Die Formel lautet: [mm]\int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a)[/mm] wenn F eine Stammfunktion von f ist. Somit musst Du noch minus rechnen (im rechnen bin ich nicht gut, aber das würde vielleicht noch klappen  )
Also locker bleiben und weiter so, Du bist auf dem richtigen Weg
Gruß
Andreas
|
|
|
| |
|
Hallo HS86,
> Die Stammfunktion von z. B. [mm]\integral_{1}^{3} x^3 dx[/mm] ist
> doch [mm]\bruch{1}{4} x^4[/mm] ...oder??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wo müßte ich jetzt die 1 und 3 einsetzen??? In die
> Stammfunktion???
Ja sozusagen... Nach dem ![[]](/images/popup.gif) Hauptsatz der Integralrechnung gilt:
[mm]\int_1^3{ x^3\,\mathrm{d}x} = \left.\frac{x^4}{4}\right|_1^3 = \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4}[/mm]
> Und was sagt das Ergebnis dann aus?
Anschaulich betrachtet, kannst du dir in ein (kartesisches) Koordinatensystem den Graphen von [mm]f(x) := x^3[/mm] einzeichnen. Was du ermittelst, ist dann der Flächeninhalt der Fläche "zwischen den Zahlen 1 und 3" auf der [mm]x\texttt{-Achse}[/mm] unter dem Graphen der Funktion.
Stell' dir z.B. vor, deine Funktion wäre konstant, also z.B. [mm]f(x) := 3[/mm]. Das wäre dann eine zur [mm]x\texttt{-Achse}[/mm] horizontale Gerade, die durch den Punkt (0, 3) verläuft. Der Flächeninhalt der Fläche zwischen 1 und 3 wäre hier (3-1)*3 = 6, weil das hier ein Rechteck ist. Aber nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt hier ebenso:
[mm]\int_1^3{3\,\mathrm{d}x} = \left.3x\right|_1^3 = 3\cdot{3} - 3\cdot{1} = 3(3-1) = 6[/mm]
Ist es dir jetzt etwas verständlicher geworden?
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 12.06.2006 | | Autor: | HS86 |
> Ist es dir jetzt etwas verständlicher geworden?
Ja, ich verstehs so langsam ;) ...
Allerdings wie lauten für die beiden hier die Stammfunktionen??
[mm] \integral_{1}^{3} \bruch{3}{x^3} [/mm] dx
[mm] \integral_{1}^{3} e^\bruch{x}{3} [/mm] dx
MfG
|
|
|
| |
|
> Allerdings wie lauten für die beiden hier die
> Stammfunktionen??
>
> [mm]\integral_{1}^{3} \bruch{3}{x^3}[/mm] dx
=[mm]\integral_{1}^{3} 3x^{-3} dx[/mm] und wie man Potenzen integriert, hast Du ja schon gekommt.
> [mm]\integral_{1}^{3} e^\bruch{x}{3}[/mm] dx
Die Theorie sagt hier wohl Substitution t=x/3, also x=3t und somit dx=3 dt und vergiss die Grenzen nicht. Wäre aber eine schöne Wiederholung...
Ich würde ja versuchen zu raten: also Du brauchst eine Stammfunktion von [mm]e^\bruch{x}{3}[/mm], da die e-Funktion invariant bei Diff/Int ist, vermuten wir mal die gesuchte Stammfunktion ist von der Form [mm]a e^\bruch{x}{3}[/mm]. Leiten wir ab, erhalten wir [mm]ae^\bruch{x}{3} \cdot 3[/mm] (äußere Ableitung ist identisch mal innere Ableitung); damit Dein Integrand rauskommt muss also a=1/3 sein.
Gruß
Andreas
|
|
|
| |
|
divide et impere?
Das letzte Verb folgt der A-Konjugation.
|
|
|
| |
|
> divide et impere?
>
> Das letzte Verb folgt der A-Konjugation.
... naja, neben rechnen haperts auch noch mit der Rechtschreibung
|
|
|
|
