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| Aufgabe | | Zur Motivation des Integrals wurde ein Wunschzettel mit sechs Forderungen aufgestellt . Welche dieser W¨unsche sind erf¨ullt, welche nicht, wenn man ein Integeral versuchsweise wie folgt definiert: Int[a,b]=C[a,b], [mm] I_{a,b}(f):=f(\bruch{a+b}{2})(b-a) [/mm] für alle f. |
Hallo Leute,
also mir sind bei dieser Aufgabe ein paar Dinge nicht so klar. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Hier zunächst der oben angesprochene Wunschzettel:
1. Int[a,b] soll möglichst groß sein. Das Verfahren der Flächenmessung sollte demnach auf möglichst viele Funktionen anwendbar sein, mind. auf alle stetigen Funktionen.
2. Linearität: [mm] I_{a,b}(f+g)=I_{a,b}(f)+I_{a,b}(g) [/mm] und auf analoge Weise sollten Skalare herausmultiplizierbar sein, so dass Int[a,b] ein VR wird.
3. Zerlegungseigenschaft: Für [mm] f\in [/mm] Int[a,b] und [mm] c\in(a,b) [/mm] ist [mm] f|_{[a,c]} [/mm] in Int[a,b] und [mm] f|_{[c,b]} [/mm] in Int [c,b] und es gilt [mm] I_{a,b}(f)=I_{a,c}(f|_{[a,c]})+I_{c,b}(f|_{[c,b]}).
[/mm]
4. Monotonie: Gilt [mm] f\le [/mm] g dann auch [mm] I_{a,b}(f)\le I_{a,b}(g)
[/mm]
5. Stetigkeit: Liegt f "nahe" bei g, dann auch [mm] I_{a,b}(f) [/mm] "nahe" bei [mm] I_{a,b}(g)
[/mm]
6. [mm] I_{a,b}(1)=b-a
[/mm]
Jetzt zu meinen Fragen:
1. ist klar, trifft auch zu, da [mm] f\in [/mm] C[a,b]
2. ist mir nicht klar. Wie mache ich das? Was ist denn [mm] I_{a,b}(f+g)? [/mm] Etwa [mm] (f+g)(\bruch{a+b}{2})(b-a) [/mm] ? Und falls ja, wie zieht man diesen Ausdruck auseinander? Dazu brauch ich doch die Linearität von (f+g). Habe ich die? Analog weiß ich nicht, was [mm] I_{a,b}(r*f) [/mm] ist! Ist das [mm] (r*f)(\bruch{a+b}{2})(b-a)?
[/mm]
3. Da habe ich aus ähnlichen Gründen auch keine Ahnung. Kann mir da auch jemand bitte helfen?
4. Ist mir klar.
5. Wie zeige ich das?
6. Ist mir klar.
Ich bitte euch bei den drei Punkten um Hilfe! Vor allem die Linearität macht mir Sorgen!
Schöne Grüße, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
sowie du das aufgeschrieben hast, ist das richtig. Dabei sind Addition und Multiplikation mit einem Skalar, wie folgt definiert:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(s*f)(x)=s*f(x)
Jetzt ist es klar, oder?
Jetzt zur Frage mit der Nähe. Es ist gefragt, ob int stetig auf C[a,b] ist.
Angenommen, du hast nun eine Funktionenfolge in C[a,b].
Konvergiert dann, das Integral der Funktionenfolge gegen das Integral von f.
Hier frage ich mich jedoch selbst, was man jetzt unter "nahe" verstehen soll, da nicht angegeben ist, auf welche Metrik man sich beziehen muss. Ich denke, da man ers hier mit C[a,b] zu tun hat, wird wohl die sup-Norm gemeint sein.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hallo Hund,
vielen Dank für deine Antwort. Okay, dann sind die ersten Punkte klar. Wie war das mit Aufteilung des Intervalls? Geht das dann so:
[mm] I_{a,c}+I_{c,b}
[/mm]
[mm] =f(\bruch{a+c}{2})(c-a)+f(\bruch{c+b}{2})(b-c)
[/mm]
[mm]=0,5((f(a)+f(c))(c-a)+(f(b)+f(c))(b-c))[/mm]
Da kommt doch aber nicht [mm] I_{a,b} [/mm] raus oder?
Zu der Stetigkeit. Die Nähe ist tatsächlich über die Supremumsnorn definiert, also [mm] ||f||_{\infty}:=sup(a\le x\le [/mm] b)|f(x)|. Könntest du das bitte noch etwas ausführen. Welche Folge soll ich betrachten?
Danke, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
bei dem ersten musst du ein Gegenbeispiel suchen. In der Rechnung kannst du übrigens 1/2 nicht ausklammern.
Das mit der Nähe ist richtig. Sei [mm] f_{n} [/mm] eine stetige Funktionenfolge, die gegen f konvergiere. Dann gilt:
[mm] int(f_{n})=f_{n}((a+b)/2)(b-a). [/mm] Das konvergiert dann für n gegen unendlich gegen f((a+b)/2)(b-a)=int(f). Also ist f stetig, was ja gerade bedeutet, dass wenn f nahe g, dann ist auch das Integral von f nahe dem von g.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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