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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mo 04.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x³e^{3-kx²} [/mm] (k>0)
[mm] f'(x)=x²(3-2kx²)e^{3-kx²}
[/mm]
[mm] f''(x)=2x(2k²x^{4}-7kx²+3)e^{3-kx²}
[/mm]
(Diskutieren Sie die Funktionenschar f nach folgendem Diskussionsschema:
a) Definitionsmengen für f,f',f''; b) Symmetrie zu U(0/0) bzw. der y-Achse; c) Stetigkeit, Polstellen; d) Verhalten für betraglich große x-Werte (Asymptoten); e) Schnittpunkte mit beiden Achsen; f) Punkte mit horizontaler Tangente (mit Entscheidung); g) Wendepunkte; h) Wertemenge; i) Skizze |
Hallo, wir haben von unserem Lehrer o.g. Übungsaufgabe erhalten.
Bis jetzt habe ich folgende Lösungen:
a) [mm] D_{f}=D_{f'}=D_{f''}=\IR
[/mm]
b) [mm] f(-x)=-x³e^{3-kx²}=-f(x) [/mm] -> symm. zum Ursprung (0/0)
c) stetig auf ganz [mm] \IR, [/mm] keine Polstellen (bin mir aber immer noch nicht sicher wie ich die Stetigkeit überprüfe, aber da es keine Definitionslücken gibt, gehe ich davon aus, dass die Funktion stetig ist)
d) [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0 [/mm] -> x-Achse ist Asymptote (warum kommt aber 0 raus?)
e) f(x)=0: x³=0 -> X(0/0); f(0)=0 -> Y(0/0) (wirklich nur Ursprung als Schnittpunkt?)
f) f'(x)=0: x²(3-2kx²)=0 -> [mm] x_{1}=0; x_{2/3}=\pm\wurzel{\bruch{3}{2k}}
[/mm]
[mm] x_{1}=0 [/mm] kann doch unmöglich ein Punkt mit horizontaler Tangente sein???
[mm] x_{2}=\wurzel{\bruch{3}{2k}} [/mm] in f'':
[mm] f''(\wurzel{\bruch{3}{2k}})=2\wurzel{\bruch{3}{2k}}(4k²\bruch{3}{2k}-7k\bruch{3}{2k}+3)e^{3-k\bruch{3}{2k}}
[/mm]
wenn ich für k=1 einsetze wird das ganze negativ, setze ich aber k=2 ein wird es positiv, also ist es nun ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt?
Weiter bin ich noch nicht, weil ich nicht weiß wie :(
Bitte um Hilfe!!
LG Eva
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Hallo,
> [mm]f(x)=x³e^{3-kx²}[/mm] (k>0)
> [mm]f'(x)=x²(3-2kx²)e^{3-kx²}[/mm]
> [mm]f''(x)=2x(2k²x^{4}-7kx²+3)e^{3-kx²}[/mm]
> (Diskutieren Sie die Funktionenschar f nach folgendem
> Diskussionsschema:
> a) Definitionsmengen für f,f',f''; b) Symmetrie zu U(0/0)
> bzw. der y-Achse; c) Stetigkeit, Polstellen; d) Verhalten
> für betraglich große x-Werte (Asymptoten); e) Schnittpunkte
> mit beiden Achsen; f) Punkte mit horizontaler Tangente (mit
> Entscheidung); g) Wendepunkte; h) Wertemenge; i) Skizze
> Hallo, wir haben von unserem Lehrer o.g. Übungsaufgabe
> erhalten.
> Bis jetzt habe ich folgende Lösungen:
>
> a) [mm]D_{f}=D_{f'}=D_{f''}=\IR[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) [mm]f(-x)=-x³e^{3-kx²}=-f(x)[/mm] -> symm. zum Ursprung (0/0)
jipp
> c) stetig auf ganz [mm]\IR,[/mm] keine Polstellen (bin mir aber
> immer noch nicht sicher wie ich die Stetigkeit überprüfe,
> aber da es keine Definitionslücken gibt, gehe ich davon
> aus, dass die Funktion stetig ist)
Definitionslücken sind keine unstetigkeitsstellen, damit wäre ja jede gebrochenrationale Funktion nicht stetig.
[[stetig]
> d) [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0[/mm] -> x-Achse ist
> Asymptote (warum kommt aber 0 raus?)
y=0 --> x-Achse
> e) f(x)=0: x³=0 -> X(0/0); f(0)=0 -> Y(0/0) (wirklich nur
> Ursprung als Schnittpunkt?)
Jo
> f) f'(x)=0: x²(3-2kx²)=0 -> [mm]x_{1}=0; x_{2/3}=\pm\wurzel{\bruch{3}{2k}}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=0[/mm] kann doch unmöglich ein Punkt mit horizontaler
> Tangente sein???
> [mm]x_{2}=\wurzel{\bruch{3}{2k}}[/mm] in f'':
>
> [mm]f''(\wurzel{\bruch{3}{2k}})=2\wurzel{\bruch{3}{2k}}(4k²\bruch{3}{2k}-7k\bruch{3}{2k}+3)e^{3-k\bruch{3}{2k}}[/mm]
Drei Kandidaten für Extremstellen, aus f'(x)=0 folgt:
[mm] x_{1}=\bruch{\wurzel{6}}{2*\wurzel{k}} [/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{-\wurzel{6}}{2*\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] x_{3}=0
[/mm]
[mm] f''(x_{1})=\bruch{-3*\wurzel{e^{3}}*\wurzel{6}}{\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] f''(x_{2})=\bruch{3*\wurzel{e^{3}}*\wurzel{6}}{\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] f''(x_{3})=0
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] sine Extremstellen, [mm] x_{1} [/mm] ist offensichtlich der Hochpunkt weil [mm] f''(x_{1}) [/mm] für k>0 kleiner als null ist. usw.
> wenn ich für k=1 einsetze wird das ganze negativ, setze
> ich aber k=2 ein wird es positiv, also ist es nun ein
> Hochpunkt oder ein Tiefpunkt?
>
> Weiter bin ich noch nicht, weil ich nicht weiß wie :(
Wendepunkte:
$ notw. Krit. [mm] \wedge [/mm] hinr. Krit. $:
$ f''(x)=0 [mm] \wedge f'''(x)\not=0 [/mm] $
Für die Wertemenge zeichnest du dir am besten den Graphen. Schaust ob es globale Extrema gibt, das sind dann die höchsten / tiefsten Punkte, daraus kannst du die Wertemenge bestimmen.
Skizze versteht sich von selbst.
> Bitte um Hilfe!!
>
> LG Eva
Liebe Grüße,
exeqter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 04.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
Vielen Dank für die Antwort, ich glaube Mathe als LK zu wählen war eine Fehlentscheidung ;)
aber wie kommst du auf [mm] x_{1}=\bruch{\wurzel{6}}{2*\wurzel{k}} [/mm] bei den Pkt. mit horiz. Tangente??
wenn ich doch den Teil: 3-2kx² = 0 setze,
dann bekomm ich: -2kx²=-3; [mm] kx²=\bruch{3}{2}; x²=\bruch{3}{2k} [/mm] ???
LG Eva
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Hallo Eva,
> Vielen Dank für die Antwort, ich glaube Mathe als LK zu
> wählen war eine Fehlentscheidung ;)
>
> aber wie kommst du auf
> [mm]x_{1}=\bruch{\wurzel{6}}{2*\wurzel{k}}[/mm] bei den Pkt. mit
> horiz. Tangente??
>
> wenn ich doch den Teil: 3-2kx² = 0 setze,
>
> dann bekomm ich: -2kx²=-3; [mm]kx²=\bruch{3}{2}; x²=\bruch{3}{2k}[/mm]
> ???
das stimmt schon.
Daraus ergibt sich: [mm]x_{1,2}=\pm \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2k}}=\pm \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2k}}*\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}=\pm\bruch{\wurzel{6}}{2*\wurzel{k}}[/mm]
>
> LG Eva
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 04.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
auch für deine Antwort danke, aber ich verstehe nicht, warum das mit [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}} [/mm] erweitert werden soll?? :( das ist doch dann ein anderer Punkt oder nicht?
LG Eva
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Hallo Eva,
> auch für deine Antwort danke, aber ich verstehe nicht,
> warum das mit [mm]\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}[/mm] erweitert
> werden soll?? :( das ist doch dann ein anderer Punkt oder
> nicht?
nein, das ist kein anderer Punkt.
Ich habe hier nur den ganzen Bruch um [mm]\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}} \left ( =1 \right )[/mm] erweitert. Der Grund ist der, daß man die Wurzelausdrücke im Nenner weghaben will. Und das geschieht eben hier mit der Multiplikation von [mm]\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}[/mm].
>
> LG Eva
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 04.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
So ich habe mich nochmal an die Aufgabe gewagt und habe nun den Hochpunkt [mm] (\wurzel{\bruch{3}{2k}}/\wurzel{\bruch{27}{8k³}}e^{\bruch{3}{2}})
[/mm]
den Tiefpunkt [mm] (-\wurzel{\bruch{3}{2k}}/-\wurzel{\bruch{27}{8k³}}e^{\bruch{3}{2}})
[/mm]
5 Wendepunkte: [mm] W_{1}(0/0) [/mm] (ist das ein Sattelpunkt?), [mm] W_{2}(\wurzel{\bruch{3}{k}}/\wurzel{\bruch{27}{k³}}), W_{3}(-\wurzel{\bruch{3}{k}}/-\wurzel{\bruch{27}{k³}}), W_{4}(\wurzel{\bruch{1}{2k}}/\wurzel{\bruch{1}{8k³}}e^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
[mm] W_{5}(-\wurzel{\bruch{1}{2k}}/-\wurzel{\bruch{1}{8k³}}e^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
als Wertemenge habe ich dementsprechend: [mm] [-\wurzel{\bruch{27}{8k³}}e^{\bruch{3}{2}};\wurzel{\bruch{27}{8k³}}e^{\bruch{3}{2}}]
[/mm]
Der nächste Teil der Aufgabe lautet wie folgt:
Die x-Achse, der Graph der Funktion [mm] f_{k} [/mm] und die Geraden x=-t und x=t begrenzen eine Fläche.
a) Bestimmen Sie deren Flächeninhalt [mm] A_{k}(t)!
[/mm]
b) Zeigen sie, dass dieser Inhalt streng monoton wächst!
c) Bestimmen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}A_{k}(t), [/mm] sofern er existiert!
So integriert habe ich, weiß allerdings nicht, ob es stimmt:
[mm] 2\integral_{0}^{t}{x³e^{3-kx²} dx} [/mm] = [mm] [e^{3-kx²}(\bruch{1}{k²}-\bruch{x²}{k})] [/mm] Grenzen [0;t] weiß nicht wie ich das hinter die eckige Klammer bekomme. Stimmt die Integration?
LG Eva
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Hallo Eva,
> So integriert habe ich, weiß allerdings nicht, ob es
> stimmt:
> [mm]2\integral_{0}^{t}{x³e^{3-kx²} dx}[/mm] =
> [mm][e^{3-kx²}(\bruch{1}{k²}-\bruch{x²}{k})][/mm] Grenzen [0;t] weiß
> nicht wie ich das hinter die eckige Klammer bekomme. Stimmt
> die Integration?
Stimmt.
>
> LG Eva
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 Di 05.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
juhu!!! endlich was richtig!! der inhalt für [0;t] müsste somit bei
[mm] e^{3-kt²}(\bruch{1}{k²}-\bruch{t²}{k})-e³(\bruch{1}{k²}) [/mm] liegen. oder?
wie zeige ich nun, dass der inhalt monoton steigt? da gibts bestimmt ne bessere methode als einmal für t=1 und einmal für t=2 einzusetzen oder?
LG Eva
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Di 05.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Eva!
> juhu!!! endlich was richtig!! der inhalt für [0;t] müsste
> somit bei
> [mm]e^{3-kt²}(\bruch{1}{k²}-\bruch{t²}{k})-e³(\bruch{1}{k²})[/mm]
> liegen. oder?
$ [mm] e^{3-kt²}(\red{-}\bruch{1}{k²}-\bruch{t²}{k})-e³(\bruch{1}{k²}) [/mm] $
> wie zeige ich nun, dass der inhalt monoton steigt? da gibts
> bestimmt ne bessere methode als einmal für t=1 und einmal
> für t=2 einzusetzen oder?
In der Tat 
Es gibt doch einen Zusammenhang zwischen der Monotonie der Funktion [mm] $A_k(t)$ [/mm] und der Ableitung $A'_k(t)$.
Diese Ableitung ist ja definiert durch die Ableitung des Integrals, das du gerade ausgerechnet hast:
$A'_k(t) = [mm] \bruch{d}{dt} \integral_0^t [/mm] f(x) dx $.
Da gibt es doch diesen Satz über die Ableitung eines Integrals.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Di 05.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Eva!
> So integriert habe ich, weiß allerdings nicht, ob es
> stimmt:
> [mm]2\integral_{0}^{t}{x³e^{3-kx²} dx}[/mm] =
> [mm][e^{3-kx²}(\bruch{1}{k²}-\bruch{x²}{k})][/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Grenzen [0;t] weiß
> nicht wie ich das hinter die eckige Klammer bekomme. Stimmt
> die Integration?
Fast: ein Vorzeichen ist falsch:
$ 2\integral_{0}^{t}{x³e^{3-kx²} dx} = \left.\left[e^{3-kx²}(\red{-}\bruch{1}{k²}-\bruch{x²}{k})\right]\right|_{0}^{t} $
Viele Grüße
Rainer
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