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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 So 16.01.2005 | | Autor: | Beavis |
Hi Leute
schreibe am Di Mathe Klausur und hab Probleme bei einer Übungsaufgabe:
Der Graph G(f) der in D(f) = [mm] \IR [/mm] definierten Funktion 2. Grades schneidet die x-Achse an den stellen x1 = 0 und x2 = 4 und besitzt im Ursprung die Steigung 2.
a) Bestimmen sie den Funktionsterm f(x)!
b) Zeigen Sie, dass die Gerade g: Y = -x + [mm] \bruch{9}{2} [/mm] den Graphen G(f)
berührt und bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunkts!
c) Zeichnen Sie den Graphen G(f) sowie die Gerade g für alle x [mm] \in [/mm] [-1,5;5]
in ein rechtwinkliges Kooridinatensystem!
Berechnen Sie den Inhalt A des Flächenstücks, das der Graph G(f), die
Gerade g und die positive y-Achse miteinander einschließen!
Also bei a) f(x) = [mm] -0,5x^2 [/mm] + 2x und b) (Berührpunkt = (3/1,5) hab ich ne Lösung raus bekommen, aber bei der c) komm ich nicht auf den Anfangsterm des Integrals um den Flächeninhalt auszurechnen.
Bitte helft mir!
MFG Beavis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 16.01.2005 | | Autor: | Beavis |
Vielen Dank Loddar für deine schnelle Antwort.
Habe die Aufgabe nun durchgerechnet und komme auf einen Flächeninhalt von 4,5.
Bei einer 2. Übungsaufgabe bin ich mir auch nicht ganz sicher.
Gegeben ist die in D(f) = [mm] \IR [/mm] gegebene Funktion
f(x) = [mm] 0,25x^2 [/mm] - 0,5x - 0,75
mit Graphen G(f)
b) Die Gerade g: y = -0,5x + 1,5 schneidet den Graphen G(f) in zwei
Punkten. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte S(1) und S(2)!
c) Zeichnen Sie den Graphen G(f) und die Gerade g für alle x [mm] \in [/mm] [-4;4] in ein
rechtwinkliges Koordinatensystem und berechnen Sie den Inhalt A der
Fläche die der Graph G(f) und die Gerade g miteinander einschließen!
Habe wie auch schon bei der ersten Aufgabe die Skizze gemacht.Habe es bei c) wie bei der vorherigen Aufgabe gemacht und komme auf einen Flächeninhalt von [mm] \bruch{32}{3}
[/mm]
Könntest du mir bitte beantworten, ob die beiden Ergebnisse richtig sind?
Lösungsansätze:
1.Aufgabe:
[mm] \integral_{0}^{3} [/mm] {f(x) - g(x) dx}
= [mm] \integral_{0}^{3} {(-0,5x^2 + 2x) - (-x + 4,5) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{3} {-0,5x^2 + 3x - 4,5 dx}
[/mm]
wenn ich den Werte in die Stammfunktion einsetze komme ich auf
= -4,5 + 13,5 -13,5
= -4,5
da Flächeninhalte nicht negativ sein können habe ich einen Flächeninhalt von 4,5
2.Aufgabe:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) - g(x) dx}
= [mm] \integral_{-1}^{3} {(0,25x^2 - 0,5x - 0,75) - (0,5x + 1,5) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{3} {0,25x^2 - 1x - 2,25 dx}
[/mm]
wenn ich die Werte 3 und -1 in die Stammfunktion einsetze komme ich auf
= (2,25 - 4,5 - 6,75) - [mm] (-\bruch{1}{12} [/mm] - 0,5 + 2,25)
= [mm] -\bruch{32}{3}
[/mm]
da Flächeninhalte nicht negativ sein können habe ich einen Flächeninhalt von [mm] \bruch{32}{3}
[/mm]
MFG Beavis
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Hallo Sebastian,
>
> Habe wie auch schon bei der ersten Aufgabe die Skizze
> gemacht.Habe es bei c) wie bei der vorherigen Aufgabe
> gemacht und komme auf einen Flächeninhalt von
> [mm]\bruch{32}{3}[/mm]
Es ist für viel leichter, solche Ergebnisse zu überprüfen, wenn du uns wenigstens deine Lösungsansätze zeigen könntest.
Lies doch bitte unsere Forenregeln einmal durch und benutze unseren Formeleditor, damit man die Formeln leichter (und eindeutig!) lesen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 So 16.01.2005 | | Autor: | Beavis |
Habe die Lösungsansätze bei 2. Aufgabe angehängt.
Als Schnittpunkte mit der x- Achse habe ich x1= 3 und x2= -1
S1 = (3/0) und S2 = (3/3)
meine Stammfunktion lautet [mm] \bruch{1}{12}x^3 [/mm] - [mm] 0,5x^2 [/mm] - 2,25x
Vielen Dank für deine Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 So 16.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> Habe die Lösungsansätze bei 2. Aufgabe angehängt.
> Als Schnittpunkte mit der x- Achse habe ich x1= 3 und x2= -1
> S1 = (3/0) und S2 = (3/3)
> meine Stammfunktion lautet:
> [mm]\bruch{1}{12}x^3[/mm] - [mm]0,5x^2[/mm] - > 2,25x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Siehe diese Antwort ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 So 16.01.2005 | | Autor: | Loddar |
1. Aufgabe:
> [mm]\integral_{0}^{3}[/mm] {f(x) - g(x) dx}
> = [mm]\integral_{0}^{3} {(-0,5x^2 + 2x) - (-x + 4,5) dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{3} {-0,5x^2 + 3x - 4,5 dx}[/mm]
> wenn ich den
> Werte in die Stammfunktion einsetze komme ich auf
> = -4,5 + 13,5 -13,5
> = -4,5
> da Flächeninhalte nicht negativ sein können habe ich einen
> Flächeninhalt von 4,5
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Aber das hatten wir ja schon geklärt ...
Kleine Anmerkung:
Der Flächeninhalt an sich kann nicht negativ sein, da hast Du recht (deshalb schreiben wir ja auch immer "$|A|$").
Das Minuszeichen gibt nur die Ausrichtung der Fläche an, ob die Fläche z.B. unterhalb der x-Achse liegt.
In unserem Fall gibt das Minuszeichen an, daß die Kurve [mm] $K_f$ [/mm] in diesem Bereich unterhalb von [mm] $K_g$ [/mm] verläuft.
2. Aufgabe:
> [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {f(x) - g(x) dx}
> = [mm]\integral_{-1}^{3} {(0,25x^2 - 0,5x - 0,75) - (0,5x + 1,5) dx}[/mm]
Die Funktionsvorschrift für unsere Gerade $g$ lautet doch: $g(x) = [mm] \red{-}0,5x+1,5$
[/mm]
Wie kommst Du auf die untere (Integrations-)Grenze von -1?
Als Schnittpunkte habe ich: [mm] $S_1(-3 [/mm] | 3)$ sowie [mm] $S_2(3|0)$
[/mm]
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 16.01.2005 | | Autor: | Beavis |
Bei den Schnittpunkten hab ich einfach ein "Minus" vergessen.
Wenn ich mit (-0,5x + 1,5) rechne komm ich auf [mm] \bruch{20}{3}.Aber [/mm] mein Ansatz scheint schon falsch zu scheinen.
Als Integrationsgrenze hab ich -1 weil es eine von 2 Schnittstellen mit der x-Achse ist.Weiß nicht wie ich auf die Integrationsgrenze kommen soll.
Könntest du mir den Ansatz für die Aufgabe geben?
MFG Beavis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 So 16.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beavis,
irgendwie hatte ich mch jetzt selber schon völlig verhaspelt. Daher etwas später die Antwort ...
Bei der o.g. Formel für den Flächeninhalt $|A| = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {[f(x)-g(x)] dx}$ mußt Du in unserem Fall als Integrationsgrenzen die beiden x-Werte der beiden Schnittstellen [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$ [/mm] einsetzen.
Hast du denn nun die gleichen Schnittpunkte ermittelt, die ich Dir oben genannt habe?
Bei der Berechnung von Flächen zwischen verschiedenen Funktionen sind die einzelnen Nullstellen egal.
Für unsere gesuchte Fläche gilt also:
$|A| = [mm] \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} [/mm] {[f(x)-g(x)] dx} = [mm] \integral_{-3}^{3} [/mm] {[f(x)-g(x)] dx} = ...$
[Dateianhang nicht öffentlich]
Als Kontrollergebnis (bitte nachrechnen): $A = [mm] 9\;[F.E.]$
[/mm]
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
) bis zu unserem Berührungspunkt zwischen den beiden Kurven [mm] $K_f$ [/mm] und [mm] $K_g$ [/mm] handelt.
