Integralrechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Skizzieren sie sorgfältig die Menge:
[mm] B=\{(x,y) \in \IR^{2} | x\ge 0, y\ge 0, x^{2} +y^{2} \le 1 \}
[/mm]
und bestimmen sie das Integral:
[mm] \integral_{B}^{}{\bruch{2y}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2} } d(x,y)}
[/mm]
|
Hey,
das skizzieren der Menge ist kein Problem, Probleme bekomme ich erst bei der Bildung der Stammfunktion.
Man muss ja das Doppelintegral von [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1 - x^{2}}}{\bruch{2y}{(1+x^{2}+ y^{2})^{2}} dxdy} [/mm] bestimmen.
Gibt es da eine recht einfache Möglichkeit die stammfunktion zu bilden? Hab mehrere Aufgaben wo ich größere Probleme habe die Stammfunktion zu bilden.
Ich danke euch schonmal für die Hilfe!
freundliche grüße
eldanielo
|
|
| |
|
> Skizzieren sie sorgfältig die Menge:
> [mm]B=\{(x,y) \in \IR^{2} | x\ge 0, y\ge 0, x^{2} +y^{2} \le 1 \}[/mm]
>
> und bestimmen sie das Integral:
>
> [mm]\integral_{B}^{}{\bruch{2y}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2} } d(x,y)}[/mm]
>
>
> Hey,
>
> das skizzieren der Menge ist kein Problem, Probleme bekomme
> ich erst bei der Bildung der Stammfunktion.
>
> Man muss ja das Doppelintegral von
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1 - x^{2}}}{\bruch{2y}{(1+x^{2}+ y^{2})^{2}} dxdy}[/mm]
> bestimmen.
>
> Gibt es da eine recht einfache Möglichkeit die
> stammfunktion zu bilden? Hab mehrere Aufgaben wo ich
> größere Probleme habe die Stammfunktion zu bilden.
>
> Ich danke euch schonmal für die Hilfe!
> freundliche grüße
> eldanielo
Hallo!
Ihr hattet sicher schon sowas ähnliches wie Satz von Fubini, oder? Ist auch egal, für dieses spezielle Integral würde ich dir empfehlen, "im Inneren" nach y zu integrieren. Da kann man nämlich was schönes machen, weil
[mm] \bruch{2y}{(1+x^{2}+ y^{2})^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{-1}{1+x^{2}+y^{2}}\right)
[/mm]
wie man nach kurzem Schauen leicht sieht  (Im Zähler steht die Ableitung des Terms im Nenner in der Potenz!)
Dann kannst du das Integral "weglassen" und musst nur noch die Grenzen einsetzen! Der resultierende Term lässt sich leicht integrieren.
Falls du das nicht tun möchtest, (also du willst lieber nach x integrieren), so kannst du erstmal Konstanten aus dem Integral herausziehen. Denn wenn du nach x integrierst, ist y Konstante:
[mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1 - x^{2}}}{\bruch{2y}{(1+x^{2}+ y^{2})^{2}} dxdy}[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{1}2y*\integral_{0}^{\wurzel{1 - x^{2}}}{\bruch{1}{(1+x^{2}+ y^{2})^{2}} dxdy}[/mm]
Beim Genauen Hinsehen (und das ist bei vielen Variablen wichtig) siehst du, dass du im Grunde im Integral einen Term der Form
[mm] \bruch{1}{\left(x^{2}+a\right)^{2}}
[/mm]
stehen hast. Wie man das jetzt konkret integriert, weiß ich nicht (vermute Partielle Integration), aber ich würde dir obigen Weg ans Herz legen
Stefan.
|
|
|
| |
|
> Skizzieren sie sorgfältig die Menge:
> [mm]B=\{(x,y) \in \IR^{2} | x\ge 0, y\ge 0, x^{2} +y^{2} \le 1 \}[/mm]
>
> und bestimmen sie das Integral:
>
> [mm]\integral_{B}^{}{\bruch{2y}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2} } d(x,y)}[/mm]
>
>
> Hey,
>
> das skizzieren der Menge ist kein Problem, Probleme bekomme
> ich erst bei der Bildung der Stammfunktion.
>
> Man muss ja das Doppelintegral von
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1 - x^{2}}}{\bruch{2y}{(1+x^{2}+ y^{2})^{2}} dxdy}[/mm]
> bestimmen.
Hallo,
Du mußt hier die Integrationsvariablen vertauschen.
Richtig ist [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1 - x^{2}}}{\bruch{2y}{(1+x^{2}+ y^{2})^{2}} dydx}, [/mm] denn es ist ja das y, welches zwischen 0 und [mm] \wurzel{1 - x^{2}} [/mm] läuft.
>
> Gibt es da eine recht einfache Möglichkeit die
> stammfunktion zu bilden? Hab mehrere Aufgaben wo ich
> größere Probleme habe die Stammfunktion zu bilden.
Da das Gebiet ein Viertelkreis ist, könntest Du auch in Polarkoordinaten arbeiten. Kommt halt' drauf an, ob Ihr das hattet oder nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
