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Also ich versuche folgendes Integral zu integrieren 
[mm] \integral_{0}^{r} [/mm] { [mm] \bruch{r}{ \wurzel{ r^{2} - x^{2}}} [/mm] dx}
Wäre schön wenn jemand ne kleine Erklärung mit beiliefert, ich weiß absolut nicht weiter. hab erstmal (r²-x²) = z gesetzt. die ableitung z' = -2x. damit habe ich mein integral erweitert und zusätzlich mit 1 : (-2x) erweitert, um das wieder passend zu machen. aus z' erhalte ich dz = dx : -2x. Das sieht dann so aus...
[mm] \integral_{0}^{r} [/mm] { [mm] \bruch{r}{ \wurzel{ r^{2} - x^{2}}} [/mm] * -2x * [mm] \bruch{1}{-2x} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{-2x}}
[/mm]
Und wie gehts jetzt weiter? Falls bisher alles richtig ist :?
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Hi, DerHochpunkt
(Mein Gott: Was für ein Name. Hoffentlich wirst Du ihm auf Dauer gerecht!)
Also: Du kennst die Arcusfunktionen (sonst wär' die Aufgabe unsinnig!).
Du weißt, dass gilt: f(x)= arcsin(x) => f'(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}. [/mm]
Naja: Und daraus ergibt sich das unbestimmte Integral
[mm] \int{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}}dx= [/mm] arcsin(x)+c.
Was ist nun bei Dir anders?
Nun: Zunächst das r im Zähler. Das ist problemlos, da konstant; kann daher aus dem Integral herausgezogen werden.
Dann das [mm] r^{2} [/mm] in der Wurzel. Das klammerst Du aus:
[mm] r^{2}*(1-(\bruch{x^{2}}{r^{2}}), [/mm] ziehst schließlich das r aus der Wurzel raus, substituierst [mm] z=\bruch{x}{r} [/mm] und erhältst als Endergebnis:
[mm] r*arcsin(\bruch{x}{r}) [/mm] + c.
(Keine Garantie auf Tippfehler!)
mfG!
Zwerglein
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Hm. klingt einleuchtend nein arc-Funktionen hatte ich noch nicht. ich habe mal (spaßeshalber) die aufgabe aus einem mathebuch nachgerechnet.
es geht um die berechnung des kreisumfangs mittels bogenlängenberechnung.
die formel ist : s = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \wurzel{1+f'(x)²} [/mm] dx}
f(x) eines viertelkreises ist: x²+y² = r² => y = [mm] \wurzel{r² - x²}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{-x}{ \wurzel{r²-x²}}
[/mm]
einsetzen in die formel bringt für einen viertelkreis:
s/4 = [mm] \integral_{0}^{r} [/mm] { [mm] \bruch{r}{ \wurzel{r²-x²}} [/mm] dx}
nach integration erhält man: s/4 = [mm] \bruch{Pi*r}{2}
[/mm]
=> u = 2*Pi*r
Ich habe versucht diese Integration nachzurechnen. Im Mathebuch steht außerdem, es wurde mit einem GTA Rechner ??? gerechnet. Aber im Ergebnis steht nichts von einer arc-Fkt. Merkwürdig :.....
Aber trotzdem vielen Dank.
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Hi, Der Hochpunkt,
naja: da arcsin(1) = [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] ist das Endergebnis auch kein Problem mehr!
(Übrigens: Wenn Du den arcsin nicht kennst, ist's vielleicht wichtig zu erwähnen, dass dies die Umkehrfunktion vom Sinus zwischen [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist. Auf'm Taschenrechner meist: "inv sin" )
mfG!
Zwerglein
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okay. danke für die schnellen antworten.
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