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Hi,
Bestimmen Sie alle Lösungen [mm] z\in[0, 2\pi] [/mm] der Gleichung
[mm] $\summe_{k=2}^{\infty} \wurzel{(\bruch{1}{4})^k}= \integral_{1}^{exp(z)} {\bruch{cos(ln(x))}{x} dx}$
[/mm]
Ich bin nicht sicher wie ich diese Aufgabe angehen soll. Reicht es auf der rechten Seite für z einmal 0 und einmal [mm] 2\pi [/mm] einzusetzen und das Integral zu berechnen? Sind das dann schon alle Lösungen? Aber wozu ist dann die linke Seite angegeben? Reine Verwirrungstaktik?
Hm, gerade hab ich noch etwas darüber nachgedacht. Vielleicht soll ja auch irgendwie z berechnet werden. Die untere Grenze des Integrals lässt sich ja berechnen und mit Hilfe der linken Seite ist ja auch die Größe der "Fläche" des Integrals bekannt. Lässt sich dadurch irgendwie die obere Grenze und damit z finden? Ist das der richtige Weg? Fragt sich nur wie ich die Linke Seite berechne. Wenn die Wurzel nicht wäre, würde ich es irgendwie mit einer geometr. Reihe machen. Aber so, keine Idee. Kann mir einer helfen?
Das Integral braucht keiner zu berechnen, dass mache ich dann selber. Mir geht es nur erstmal darum eine Hilfe bei dem Lösungsweg zu bekommen.
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas,
auch dieser Ausdruck auf der linken Seite läßt sich in eine geometrische Reihe umformen:
[mm] $\wurzel{\left(\bruch{1}{4}\right)^k} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \left(\bruch{1}{4}\right)^k\right]^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{4}\right)^{k*\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \left(\bruch{1}{4}\right)^{\bruch{1}{2}}\right]^k [/mm] \ = \ [mm] \left(\wurzel{\bruch{1}{4}}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2^k}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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> auch dieser Ausdruck auf der linken Seite läßt sich in eine
> geometrische Reihe umformen:
>
> [mm]\wurzel{\left(\bruch{1}{4}\right)^k} \ = \ \left[ \left(\bruch{1}{4}\right)^k\right]^{\bruch{1}{2}} \ = \ \left(\bruch{1}{4}\right)^{k*\bruch{1}{2}} \ = \ \left[ \left(\bruch{1}{4}\right)^{\bruch{1}{2}}\right]^k \ = \ \left(\wurzel{\bruch{1}{4}}\right)^k \ = \ \left(\bruch{1}{2}\right)^k \ = \ \bruch{1}{2^k}[/mm]
>
> Kommst Du nun alleine weiter?
Ich habs versucht, aber leider nein. Ok, die Reihe wird also zu
[mm] $\summe_{i=2}^{\infty} (\bruch{1}{2})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}=2$
[/mm]
Maxima liefert allerdings [mm] \bruch{1}{2} [/mm] als Ergebnis der Reihe. Irgendwas stimmt also nicht. Dies wäre die erste Schwierigkeit.
Die zweite Schwierigkeit ist das Integral. Ich hab erstmal ewig versucht die Stammfunktion zu ermitteln, aber es ist mir nicht gelungen. Auch mit maxima ist es mir nicht gelungen. Wie gehe ich hier vor?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Für die Stammfunktion solltest Du es mal mit einer Substitution versuchen:
$z \ := [mm] \ln(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ x * dz$
Gruß
Loddar
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> Hallo Andreas!
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> Für die Stammfunktion solltest Du es mal mit einer
> Substitution versuchen:
>
> [mm]z \ := \ln(x)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]z' \ = \ \bruch{dz}{dx} \ = \ \bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]dx \ = \ x * dz[/mm]
Irgendwie denke ich nie an die Substitutionen und versuche immer gleich irgendwas mit Produktintegration, wenn es irgendwie danach aussieht wie hier mit dem Bruch. Danke für den Hinweis. Das hab ich gemacht. Das Ergebnis sieht eigentlich sehr nett aus, daher denke ich es könnte richtig sein.
[mm] $\integral_{1}^{e^z} {\bruch{cos(ln(x))}{x} dx}$
[/mm]
Substitution:
$u=ln(x) [mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] dx=du*x$
Untere Grenze: $x=1 [mm] \Rightarrow [/mm] u=ln(1)=0$
Obere Grenze: [mm] $x=e^z \Rightarrow [/mm] u= [mm] ln(e^z)=z$
[/mm]
Integration:
[mm] $\integral_{1}^{e^z} {\bruch{cos(ln(x))}{x} dx}= \integral_{o}^{z} {\bruch{cos(u)}{x}*du*x}$
[/mm]
[mm] $=\integral_{o}^{z} {cos(u)*du}=\left[ sin(u) \right]$ [/mm] (Hm, wie macht man bei [...] dahinter die Grenze oben und unten?
[mm] F(z)-F(0)=\bruch{1}{2}
[/mm]
F(0)=sin(0)=0
[mm] F(z)-0=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] F(z)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] sin(z)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] z=\bruch{\pi}{6} [/mm] (bzw. 0,523598775)
Kommt das hin? Das einzige was mich verwirrt ist nur noch warum in der Frage angegeben ist [mm] $z\in[0, 2\pi]$ [/mm] und warum da steht "Bestimmen Sie alle Lösungen".
Gruß
Andreas
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Hallo!
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> Substitution:
> [mm]u=ln(x) \Rightarrow \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x} \Rightarrow dx=du*x[/mm]
>
>
> Untere Grenze: [mm]x=1 \Rightarrow u=ln(1)=0[/mm]
> Obere Grenze:
> [mm]x=e^z \Rightarrow u= ln(e^z)=z[/mm]
>
> Integration:
> [mm]\integral_{1}^{e^z} {\bruch{cos(ln(x))}{x} dx}= \integral_{o}^{z} {\bruch{cos(u)}{x}*du*x}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sieht doch ganz nett aus!
>
> [mm]F(z)-F(0)=\bruch{1}{2}
[/mm]
> F(0)=sin(0)=0
> [mm]F(z)-0=\bruch{1}{2}
[/mm]
> [mm]F(z)=\bruch{1}{2}
[/mm]
> [mm]sin(z)=\bruch{1}{2}
[/mm]
> [mm]z=\bruch{\pi}{6}[/mm] (bzw. 0,523598775)
>
> Kommt das hin? Das einzige was mich verwirrt ist nur noch
> warum in der Frage angegeben ist [mm]z\in[0, 2\pi][/mm] und warum da
> steht "Bestimmen Sie alle Lösungen".
Nun, weil eben [mm]z=\bruch{\pi}{6}[/mm] nicht die einzige Zahl im Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] ist, für die [mm]sin(z)=\bruch{1}{2}[/mm] gilt.
Da gibt es nämlich noch eine.
Mach dir das vielleicht am besten am Einheitskreis klar, dann wird es dir wie Schuppen von den Augen fallen...
Gruß,
Christian
(PS.: Die Grenzen macht man mit "hochgestellt" und "tiefgestellt; also [x+y+z]^a_b ergibt [mm] $[x+y+z]^a_b$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Do 17.03.2005 | | Autor: | andreas99 |
> Nun, weil eben [mm]z=\bruch{\pi}{6}[/mm] nicht die einzige Zahl im
> Intervall [mm][0,2\pi][/mm] ist, für die [mm]sin(z)=\bruch{1}{2}[/mm]
> gilt.
> Da gibt es nämlich noch eine.
> Mach dir das vielleicht am besten am Einheitskreis klar,
> dann wird es dir wie Schuppen von den Augen fallen...
Ahh, du hast Recht. Bei den Werten 0 und [mm] 2\pi [/mm] hätte es mir klar sein sollen. Man muss also die [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] von [mm] 2\pi [/mm] abziehen. Die zweite Lösung sollte also [mm] \bruch{11\pi}{6} [/mm] sein.
Danke
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Das Ergebnis der unendlichen geometrischen Reihe lautet doch:
[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{a_1}}{1-q}$
[/mm]
In unserem Fall gilt:
[mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^{\blue{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
Wir müssen hier [mm] "$\blue{2}$" [/mm] einsetzen, da hier auch unsere Summe erst startet (siehe Aufgabenstellung für Laufindex [mm] $\blue{i = 2}$!).
[/mm]
Damit wird: [mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{4}}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Do 17.03.2005 | | Autor: | andreas99 |
> Wir müssen hier "[mm]\blue{2}[/mm]" einsetzen, da hier auch unsere
> Summe erst startet (siehe Aufgabenstellung für Laufindex
> [mm]\blue{i = 2}[/mm]!).
>
> Damit wird: [mm]s_{\infty} \ = \ \bruch{\bruch{1}{4}}{1-\bruch{1}{2}} \ = \ \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Nun klar(er)?
Ja, danke für den Tip. Ich hab mir die Geom. Reihe nochmal genau angesehen. Ich muss wie du schon gesagt hast auf den Laufindex aufpassen. Ich schreib der Vollständigkeit halber nochmal meine letzten Schritte auf:
[mm] $\summe_{i=2}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k+1}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2}^2*(\bruch{1}{2})^{k-1}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{4}*(\bruch{1}{2})^{k-1}$
[/mm]
...
[mm] $=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Gruß
Andreas
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