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| Aufgabe | Nach einer Operation erhält ein Patient eine Infusion. Die Abbildung zeigt die Dosierung eines Medikamentes über einen Zeitraum von 24 Stunden. Dosierung bedeutet: Zufuhr pro Zeit in mg/h. Begonnen wird mit einer Dosierung von 1 mg/h.
a) Beschreiben Sie den Verlauf der Dosierung.
b) Der Verlauf der Dosierung soll mit einer Exponentialfunktion
[mm]f(x)=n_0+a*x*e^{k*x}[/mm]
modelliert werden. Berechnen Sie geeignete Werte für a und k, wenn nach x = 4 Stunden eine maximale Dosierung von 5 mg/h eingestellt ist. Wie lautet die Funktionsgleichung?
c) Zu welchem Zeitpunkt ist die Abnahme der Dosierung am stärksten?
d) Berechnen Sie die Menge des verabreichten Medikamentes, wenn die Infusion 24 Stunden durchgeführt wird. |
Hallo Leute,
Hab die Aufgabe von Brinkmann, da sind auch immer ausführliche Lösungen dabei. Aber eine Frage hierzu erstmal. Wenn man die Funktion beschreibt, wann sagt man monoton steigend z.B.
Gibt es noch andere Begriffe die man nutzen kann? Ausser monoton. Oder sagt man immer monoton? Wäre ja absurd..^^
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Hallo,
bei der Beschreibung des Verlaufs eines Graphen gibt es tatsächlich nicht viele Vokabeln:
1. monoton:
Wenn du es mal auf "einfache, normale" Funktionsgraphen beschränkst (wie in der Schule üblich), dann findest du in "allen" Graphen stückweise Monotonie. Ab und zu ist auch mal ein Graph dabei, der überall monoton (z.B. wachsend) ist. Einfaches Beispiel ist eine Normalparabel, die eben zwei monotone Abschnitte hat, einer wachsend, einer fallend.
2. wachsend/steigend bzw. fallend/sinkend
3. steil/große Steigung (betragsmäßig) bzw. flach/kleine Steigung (betragsmäßig)
4. große vs. kleine Änderungen (inhaltsgleich zu 3.)
5. periodisch
6. "sich einem Wert annähernd" (Begriff der Asymptote) bzw. "unendlich werdend"
7. Max/Min
Man kann die Liste ggf. noch erweitern, aber die wichtigsten Begriffe sind m.E. drin.
Gruß,
weightgainer
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Was heißt monotonie in der Mathematik anders gesagt?
Periodisch? Wie bau ich das ein?
Noch ne frage, ab wann sagt man klein ab wann groß ist das jetzt definiert oder gibts da einfach das menschliche auge was entscheidet! :)
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Hier wirst du bzgl. Monotonie fündig:  monoton
Die meisten Begriffe sind keine mathematischen Fachbegriffe. Was also "steil" ist, muss das menschliche Auge entscheiden - im Kontext der Aufgabe und in Relation zu anderen Stellen des Graphen.
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Noch ne Frage bei der Ableitung.
Wenn ich das ableite mithilfe der Produktregel, habe ich:
[mm]u = a*x[/mm]
[mm]u' = a[/mm]
[mm]v = e^{kx}[/mm]
[mm]v' = k*e^{kx}[/mm]
[mm]u'*v+v'*u[/mm]
Also ->
[mm] a*e^{kx}+k*e^{kx}*a*x[/mm]
Was tu ich mit der "eins" die da oben noch ueber bleibt vor dem pluszeichen.. irgendwie weiss ich nachdem ich ausgeklammert hab nicht weiter:
[mm]e^{kx}*(a+akx)[/mm]
Blackpearl!
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Bin mir nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstehe.
Du willst [mm] f(x)=n_0+a\cdot{}x\cdot{}e^{k\cdot{}x} [/mm] ableiten:
Statt [mm]u(x)=a*x[/mm] zu nehmen, kannst du das a als konstanten Faktor einfach mitschleppen und statt dessen
[mm]u(x) = x[/mm] und
[mm]v(x) = e^{k*x}[/mm]
betrachten.
Du leitest das ja alles richtig ab und bekommst dann:
[mm]f'(x)=a*(e^{k*x}+ x*k*e^{k*x})[/mm]
Den Exponentialfaktor kannst du jetzt noch ausklammern:
[mm]f'(x)=a*e^{k*x}*(1+ k*x)[/mm]
Wenn diese 1 dich stört - da kannst du nichts gegen machen. Aber wie gesagt - vielleicht verstehe ich dich falsch.
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Hat sich geklärt! Danke.. war bisschen verwirrt.
Noch ne Frage, weil mit diesen Definitionen komm ich immer nich klar..^^
Streng monoton steigen ist das nur ne steigerung von monoton steigend?
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Eine "monoton" Funktion, die nicht "streng" ist, kommt in der Schule eher selten vor. Vom Verständnis her hast du Recht, denn "streng" ist eine Verschärfung des Begriffs "monoton".
Damit ein Graph nicht "streng" monoton, sondern nur "monoton" ist, muss er sozusagen auf gleicher Höhe bleiben. Das sind z.B. Treppenfunktionen oder einfach nur die konstanten Funktionen. Ansonsten wird es schwierig, bekannte/einfache Beispiele zu finden.
Manche denken allerdings an einen Sattelpunkt, wo es ja so aussieht, als würde die Funktion mal auf gleicher Höhe bleiben, aber das tut sie ja nicht. Wenn du dir zwei verschiedene Punkte auf dem Graphen nimmst, liegt der eine ganz sicher höher oder tiefer als der andere.
Das ist auch so das Kriterium: nimm dir zwei verschiedene Punkte des Graphen und vergleiche, wie die zueinander liegen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 So 14.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Streng monoton steigendfallend heisst in Formeln:
[mm] f'(x)\green{>}\blue{<}0
[/mm]
Wenn "nur" monoton steigendfallend gefordert ist, gilt: [mm] f'(x)\green{\ge}\blue{\le}0 [/mm] die Steigung kann also auch mal 0 sein.
Marius
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Aber es ergibt doch keinen Sinn. Wenn die Steigung gleich 0 ist ist sie nicht fallend aber auch nicht steigend?
Ausser natürlich mann schaut sich die naechste kommen veränderung der Steigung des Graphen an und vergleicht diese dann oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 So 14.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Aber es ergibt doch keinen Sinn. Wenn die Steigung gleich 0
> ist ist sie nicht fallend aber auch nicht steigend?
Richtig, nimm aber mal f(x)=x³ Diese Funktion ist sicherlich steigend, hat aber eine Sattelpunkt bei x=0, also ist sie auf komplett [mm] \IR [/mm] monoton steigend, und streng monoton steigend auf [mm] \IR/\{0\}
[/mm]
Diese Definition, dass eine konstante Funktion auch monoton sein kann, ist aber für Treppenfunktionen etc. ganz hilfreich, daher die beiden (umgangssprachlich verwirrednen) Begriffe Monotonie und strenge Monotonie.
Marius
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Das stimmt meiner Ansicht nach so nicht.
Monotonie ist ein Begriff, der sich per definitionem auf ein Intervall bezieht. Insofern macht der Begriff an einer Stelle überhaupt keinen Sinn.
Daraus ergibt sich auch die Monotonie für das Beispiel [mm]f(x)=x^3[/mm].
Nimm jetzt beliebige zwei Punkte [mm] P_1(x_1/y_1) [/mm] und [mm] P_2(x_2/y_2) [/mm] auf diesem Graphen mit [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2:
[/mm]
Betrachte dann [mm]f(x_2)-f(x_1) = x_2^3-x_1^3 > 0 [/mm], weil [mm]x_2 > x_1[/mm] ist.
Und das ist gültig für alle [mm] x_1, x_2 \in \IR, [/mm] also ist die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] streng monoton steigend. Dass da ein Sattelpunkt liegt, in dem die Steigung 0 ist, interessiert nicht, denn:
Nimmst du den Sattelpunkt als deinen links liegenden Punkt und einen rechts daneben, liegt der rechte höher. Nimmst du den Sattelpunkt als rechts liegenden Punkt, dann ist er höher als der andere und wenn du andere Punkte nimmst, ist auch immer der rechte höher als der linke. Also streng monoton wachsend - überall.
Die Unterscheidung zwischen streng monoton und monoton ist z.B. interessant bei sowas wie einer "Parkkosten-Funktion", also: in der 1. Stunde zahlt man 1, in der 2. Stunde dann 2, in der 3. Stunde usw. bis hin zu maximal 8h.
Das wäre jetzt eine Funktion, die im Intervall [0,8] nur monoton (nicht streng) wächst, weil sie innerhalb einer Stunde eben nicht wächst, aber es innerhalb dieser 8h doch nach oben geht.
Gleichzeitig ist das ein gutes Beispiel für die "Unverständlichkeit" des Montoniebegriffs, denn im Intervall ]0,1], also in der 1. Stunde, wo man immer 1 zahlt und der Graph ganz klar weder nach oben noch nach unten geht, kann man dies anhand der Monotonie-Definition sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend nennen. Sinn macht der Begriff hier also erst, wenn man mehr als eine Stunde anschaut.
Vielleicht wird es mit diesen Beispielen noch ein wenig deutlicher....
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Ein Bild hierzu:
[Externes Bild http://www.stauff.de/matgesch/bilder/treppe2a.gif]
Ich würd jetzt sagen, das blaue ist streng monoton steigend und das rote monoton steigend.
Letztendlich weiss ich garnicht ob er das von mir hoeren will morgen.. ich werds vielleicht garnicht benutzen und lieber nur steigen sagen..^^ will nichts falsches sagen! :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 14.06.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Ein Bild hierzu:
> [Externes Bild http://www.stauff.de/matgesch/bilder/treppe2a.gif]
>
> Ich würd jetzt sagen, das blaue ist streng monoton steigend
> und das rote monoton steigend.
Die Aussage ist richtig
> Letztendlich weiss ich garnicht ob er das von mir hoeren
> will morgen.. ich werds vielleicht garnicht benutzen und
> lieber nur steigen sagen..^^ will nichts falsches sagen! :D
Ich habe mich mit dem Kontext jetzt nicht beschäftigt, was genau war die Frage?
MfG!
Disap
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 14.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Ein Bild hierzu:
> [Externes Bild http://www.stauff.de/matgesch/bilder/treppe2a.gif]
>
> Ich würd jetzt sagen, das blaue ist streng monoton steigend
> und das rote monoton steigend.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Letztendlich weiss ich garnicht ob er das von mir hoeren
> will morgen.. ich werds vielleicht garnicht benutzen und
> lieber nur steigen sagen..^^ will nichts falsches sagen! :D
Du kannst statt steigend auch (streng) monoton steigend nutzen, die Begriffe hast du ja verstanden. Auf jeden Fall solltest du den Begriff der Monotonie nutzen, wenn du etwas über die Steigung (oder das Gefälle) aussagen willst.
Also z.B.: Anhand der Ableitung bestimme ich jetzt die Monotonie, und sehe, dass f zwischen den Extrema streng monoton fällt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 14.06.2009 | | Autor: | Blackpearl |
Ich danke euch vielmals.. :)
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