Integralrechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien T > 0; [mm] \beta [/mm] > [mm] \alpha [/mm] > 0 und
D = {(x; y) [mm] \in \IR^2 [/mm] ; 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] T; [mm] \alpha\le y\le\beta [/mm] }
Betrachten Sie die Funktion
f : D [mm] \to \IR; [/mm] f(x; y) = [mm] e^{-xy}.
[/mm]
(a) Berechnen Sie
[mm] \integral_{0}^{T}{f(x,y) dx} [/mm] und [mm] \integral_{\alpha }^{ \beta}{f(x,y) dy}
[/mm]
(b) Berechnen Sie mit Hilfe von (a) das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty }{1/x(f(x,\alpha ) - f(x,\beta )) dx} [/mm] |
Zuerst mal a): [mm] \integral_{0}^{T}{f(x,y) dx}=[-ye^{-xy}]_0^T=-ye^{-Ty}+y
[/mm]
und [mm] \integral_{\alpha }^{ \beta}{f(x,y) dy}=[-xe^{-xy}]_\alpha^\beta [/mm] = [mm] -xe^{-x\alpha} [/mm] - [mm] (-xe^{-x\beta})
[/mm]
Stimmt das so weit?
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Hallo DeSaarlaender,
> Seien T > 0; [mm]\beta [/mm] > [mm] \alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 0 und
> D = {(x; y) [mm]\in \IR^2[/mm] ; 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] T; [mm] \alpha\le y\le\beta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Betrachten Sie die Funktion
> f : D [mm]\to \IR;[/mm] f(x; y) = [mm]e^{-xy}.[/mm]
> (a) Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{T}{f(x,y) dx}[/mm] und [mm]\integral_{\alpha }^{ \beta}{f(x,y) dy}[/mm]
>
> (b) Berechnen Sie mit Hilfe von (a) das uneigentliche
> Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty }{1/x(f(x,\alpha ) - f(x,\beta )) dx}[/mm]
>
> Zuerst mal a): [mm]\integral_{0}^{T}{f(x,y) dx}=[-ye^{-xy}]_0^T=-ye^{-Ty}+y[/mm]
>
Das muss doch hier lauten:
[mm]\integral_{0}^{T}{f(x,y) dx}=[-\blue{\bruch{1}{y}}e^{-xy}]_0^T[/mm]
> und [mm]\integral_{\alpha }^{ \beta}{f(x,y) dy}=[-xe^{-xy}]_\alpha^\beta[/mm]
> = [mm]-xe^{-x\alpha}[/mm] - [mm](-xe^{-x\beta})[/mm]
>
Analog hier:
[mm]\integral_{\alpha }^{ \beta}{f(x,y) dy}=[-\blue{\bruch{1}{x}}e^{-xy}]_\alpha^\beta[/mm]
> Stimmt das so weit?
Gruss
MathePower
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Ah, da war ich mal wieder brain-afk. natürlich du hast recht. Das wären dann also:
[mm] \integral_{0}^{T}{f(x,y) dx}=[-\blue{\bruch{1}{y}}e^{-xy}]_0^T =-\bruch{1}{y}e^{-Ty}+\bruch{1}{y}
[/mm]
und
[mm] \integral_{\alpha }^{ \beta}{f(x,y) dy}=[-\blue{\bruch{1}{x}}e^{-xy}]_\alpha^\beta [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}e^{-x\beta}+\bruch{1}{x}e^{-x\alpha}
[/mm]
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[mm] \integral_{0}^{\infty }{1/x(f(x,\alpha ) - f(x,\beta )) dx}=\limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c }{1/x(f(x,\alpha ) - f(x,\beta )) dx}= \limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c }{1/x(e^{-x\alpha } - e^{-x\beta }) dx} [/mm] = [mm] \limes_{c\rightarrow\infty} [/mm] .... hier habe ich jetzt Probleme mit der Stammfunktion ... kann mir da wer weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mi 03.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{0}^{\infty }{1/x(f(x,\alpha ) - f(x,\beta )) dx}=\limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c }{1/x(f(x,\alpha ) - f(x,\beta )) dx}= \limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c }{1/x(e^{-x\alpha } - e^{-x\beta }) dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{c\rightarrow\infty}[/mm] .... hier habe ich jetzt
> Probleme mit der Stammfunktion ... kann mir da wer
> weiterhelfen?
[mm] \limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c }{1/x(f(x,\alpha ) - f(x,\beta )) dx}=\limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c }{(\integral_{\alpha}^{\beta}{f(x,y)) dy}) dx}
[/mm]
Fubini, Fubini !
FRED
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> Ah, da war ich mal wieder brain-afk. natürlich du hast
> recht. Das wären dann also:
> [mm]\integral_{0}^{T}{f(x,y) dx}=[-\blue{\bruch{1}{y}}e^{-xy}]_0^T =-\bruch{1}{y}e^{-Ty}+\bruch{1}{y}[/mm]
>
> und
> [mm]\integral_{\alpha }^{ \beta}{f(x,y) dy}=[-\blue{\bruch{1}{x}}e^{-xy}]_\alpha^\beta[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{x}e^{-x\beta}+\bruch{1}{x}e^{-x\alpha}[/mm]
Stimmt.
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