Integralsatz von Gauß < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man verifiziere den Gauß'schen Integralsatz über der Menge
$M := [mm] \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} : x^2 + y^2 + z^2 \le r^2 \}$
[/mm]
mit $f(x,y,z)= [mm] (x^3, y^3 [/mm] , [mm] z^3)$ [/mm] |
Hallo,
Hier bieten sich natürlich Kugelkoordinaten an , also
[mm] $x=rsin(\theta)cos(\varphi)$
[/mm]
$y = [mm] rsin(\theta)sin(\varphi)$
[/mm]
$z = [mm] rcos(\theta)$
[/mm]
[mm] $\varphi \in [0,2\pi]$ [/mm] und [mm] $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
[/mm]
und
$divf = [mm] 3x^2 +3y^2 +3z^2$
[/mm]
$dxdydz = [mm] r^2 cos(\theta)drd\varphi d\theta$
[/mm]
damit haben wir also per Integralsatz von Gauß:
[mm] $\integral_{M} [/mm] divf [mm] d\lambda^{n} [/mm] = [mm] \integral_{\partial M}f^{T} [/mm] v d [mm] \mu_{H}^{n-1}$ [/mm] , wobei [mm] $\mu_{H}^{n-1}(\partial [/mm] M [mm] \backslash \partial_{r}M [/mm] ) = 0$
einsetzen und unter Beachtung des trig. Pythagoras erhalten wir schließlich:
[mm] $\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{r} r^4cos(\theta)dr d\varphi d\theta [/mm] = [mm] \frac{12\pi r^5}{5}$
[/mm]
und nun direkt :
wir basteln mal den Normalvektor:
es sei [mm] $g(r,\theta, \varphi) [/mm] = [mm] (rsin(\theta)cos(\varphi), rsin(\theta)sin(\varphi),rcos(\theta)$
[/mm]
wir bilden [mm] g_{\theta}, g_{\varphi}:
[/mm]
[mm] $g_{\theta} [/mm] = [mm] (rcos(\theta)cos(\varphi), rcos(\theta)sin(\varphi),-rsin(\theta))^{T}$
[/mm]
und
[mm] $g_{\varphi} [/mm] = [mm] (-rsin(\theta)sin(\varphi),rsin(\theta)cos(\varphi),0)^{T}
[/mm]
[mm] $g_{\theta} \times g_{\varphi} [/mm] = v = [mm] (r^{2}sin^{2}(\theta)cos(\varphi),r^{2}sin^2(\theta)sin(\varphi),r^{2}cos(\theta)sin(\theta))^{T}$
[/mm]
$f [mm] \cdot [/mm] v = [mm] r^{5}sin^{5}(\theta)cos^{4}(\varphi)+r^{5}sin^{5}(\theta)sin^{4}(\varphi)+r^{5}cos^{4}(\theta)sin(\theta)$
[/mm]
das kürzt sich netterweise zu : [mm] $r^{5}sin(\theta)$
[/mm]
damit also
[mm] $\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}\integral_{0}^{2\pi}r^{5}sin(\theta) d\varphi d\theta [/mm] = 0$ ...
Allerdings - setze ich außen als Grenzen : [mm] 0,\pi [/mm] so stimmen die Resultate überein - wieso funktionieren die Grenzen von oben nicht ?
Lg und Danke
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Sa 15.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
mit $ [mm] \varphi \in [0,2\pi] [/mm] $ und $ [mm] \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] [/mm] $ erreichst du die untere Halbkugel nicht, denn es gilt dann $ z = [mm] rcos(\theta)\ge [/mm] 0 $.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Danke.
Ja klar - was für ein dummer Fehler.
Gruß Thomas
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