Integralsatz von Green < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 02.11.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Bestätigen Sie den Satz von Green am Beispiel
[mm] \integral_{c}{(x^{2}y^{2}+y)dx+x^{2}dy}
[/mm]
wobei C den Rand des von [mm] y=x^{2} [/mm] und [mm] y=x^{3} [/mm] begrenzten Gebiets bezeichent. |
Hier soll ich ja einfach nur das Integral einmal nach Green ausrechnen und einmal klassisch.
Zuerst einmal habe ich mich mit dem Integralsatz von Green ran gemacht.
[mm] \integral_{C}{udx+vdy}=\integral_{D}\integral{\bruch{dv}{dx}-\bruch{du}{dy} dxdy}
[/mm]
Also in meinem Fall:
[mm] \integral_{D}\integral{2x-2yx^{2}+1dxdy} [/mm] =
Ich hoffe einmal, dass es bis hier hin zumindestens richtig ist :)
Bei den Integrationsgrenzen habe ich mir mal die Funktionen angeschaut und gesehen dass das Gebiet von 0 bis 1 ist.
Also habe ich die Integrationsgrenzen 0<x<1 und 0<y<1 genommen.
Ist das richtig?
ich komme dann einfach auf das Ergebnis -1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mo 03.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestätigen Sie den Satz von Green am Beispiel
> [mm]\integral_{c}{(x^{2}y^{2}+y)dx+x^{2}dy}[/mm]
>
> wobei C den Rand des von [mm]y=x^{2}[/mm] und [mm]y=x^{3}[/mm] begrenzten
> Gebiets bezeichent.
> Hier soll ich ja einfach nur das Integral einmal nach
> Green ausrechnen und einmal klassisch.
>
> Zuerst einmal habe ich mich mit dem Integralsatz von Green
> ran gemacht.
>
> [mm]\integral_{C}{udx+vdy}=\integral_{D}\integral{\bruch{dv}{dx}-\bruch{du}{dy} dxdy}[/mm]
>
> Also in meinem Fall:
> [mm]\integral_{D}\integral{2x-2yx^{2}+1dxdy}[/mm] =
Vor der 1 sollte ein Minuszeichen stehen.
> Ich hoffe einmal, dass es bis hier hin zumindestens richtig
> ist :)
> Bei den Integrationsgrenzen habe ich mir mal die
> Funktionen angeschaut und gesehen dass das Gebiet von 0 bis
> 1 ist.
> Also habe ich die Integrationsgrenzen 0<x<1 und 0<y<1
> genommen.
Das ist ein Quadrat mit den Ecken (0,0),(0,1),(1,0) und (1,1). Ist das das von C begrenzte Gebiet?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Jojo987 |
Da ich mich auch gerade mit dem Greenschen Integralsatz beschäftige mache ich jetzt einfach mal weiter.
Ich bin mir da noch recht unsicher also kein Garantie und bitte um korrektur
Der Bereich von C liegt innerhalb einer Sichel. Wenn man sich die Graphen [mm] y=x^{2} [/mm] und [mm] y=x^{3} [/mm] aufzeichnet kann mach sich die Integrationsgrenzen abesen:
[mm] 0\le [/mm] y [mm] \le1
[/mm]
[mm] \wurzel{y}\le [/mm] x [mm] \le\wurzel[3]{y}
[/mm]
soweit richtig? Nur komme ich jetzt raus dass
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{\wurzel{y}}^{\wurzel[3]{y}}{2x-2yx^{2}-1dxdy}=0 [/mm] ist und dass klingt für mich recht falsch.
Wenn ich jetzt noch das Kurvenintegral berechnen will über die Funktion
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{\wurzel{t} \\ t^{3}} [/mm] bekomme ich auch einen eher komischen wert mit [mm] \bruch{153}{280}.
[/mm]
Bin ich gerade zu fertig zum Rechnen oder habe ich einen Denkfehler.
Vielen Dank.
lg Jojo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Jojo987 |
Also hab das ganze nochmal gerechnet und bekomme bei der Rechnung durch Green [mm] -\bruch{19}{1260} [/mm] was sich aber nicht mit meiner Kurvenintegration deckt.
Das Kurvenintegral habe ic folgendermaßen berechnet:
Grenzen sind 0 und 1
dieFunktionen sind:
[mm] x=y^{3}
[/mm]
[mm] x=y^{2}; [/mm] => [mm] y=\wurzel{x}
[/mm]
und somit das kurven integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{t^{7}+t^{3} \\ t}\vektor{\bruch{1}{2\wurzel{t}} \\ 3t^{2}}}dt=\bruch{1}{15}\bruch{1}{7}\bruch{3}{4}
[/mm]
Kann mir da bitte jemand helfen was ich falschgemacht habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mo 03.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also hab das ganze nochmal gerechnet und bekomme bei der
> Rechnung durch Green [mm]-\bruch{19}{1260}[/mm] was sich aber nicht
> mit meiner Kurvenintegration deckt.
Das bekomme ich auch, in beiden Fällen.
>
> Das Kurvenintegral habe ic folgendermaßen berechnet:
>
> Grenzen sind 0 und 1
>
> dieFunktionen sind:
>
> [mm]x=y^{3}[/mm]
> [mm]x=y^{2};[/mm] => [mm]y=\wurzel{x}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Funktionen sind: [mm] $y=x^3$ [/mm] und [mm] $y=x^2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Di 04.11.2008 | | Autor: | Jojo987 |
mh... ich stehe gradauf dem Schlauch
brauche ich keine x komtoneneten um das Kurvenintegral zu berechnen?
ich mach es mal ausführlich
das Kurvenintegral ist definiert als: [mm] C=\integral_{C}{f(g(t))(g'(t)}
[/mm]
unsesre kurven sind: [mm] y=x^{2} [/mm] und y=x{3}.
dass müsste doch jetzt unser g(t) ergeben was jetzt bei mir wäre:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ x^{2}+y=x{3}}
[/mm]
(also ich habe hier jetzt x=0 gewählt aber dass ist vermutlich nicht richtig. wenn man dass jetzt in den f(x,y) einsetzt g(t) ableitet und skalar multplutiert komme ich auf
[mm] \integral_{0}^{1}{0}
[/mm]
und dass kann dann eigentlich nicht sein.
entschuldigung dass ich grad so auf dem Schlauch stehe. Bitte helft mir
Gruß Jojo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Di 04.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> mh... ich stehe gradauf dem Schlauch
>
> brauche ich keine x komtoneneten um das Kurvenintegral zu
> berechnen?
Du hast in denem letzten Post x und y vertauscht.
> ich mach es mal ausführlich
>
> das Kurvenintegral ist definiert als:
> [mm]C=\integral_{C}{f(g(t))(g'(t)}[/mm]
> unsesre kurven sind: [mm]y=x^{2}[/mm] und [mm] y=x^{3}.
[/mm]
...die du getrennt behandeln musst.
> dass müsste doch jetzt unser g(t) ergeben was jetzt bei mir
> wäre:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ x^{2}+y=x{3}}[/mm]
>
Das verstehe ich überhaupt nicht. Nehmen wir mal die obere Kurve [mm] $y=x^2$. [/mm] DIe parametrisiere ich durch
[mm] g(t) = \vektor{ t \\t^2 }, \quad g'(t) = \vektor{1 \\2t} [/mm]
[mm] f(x,y) = \vektor{x^2y^2+y\\x^2} [/mm]
Folglich ist das Integral entlang der Kurve [mm] $y=x^2$:
[/mm]
[mm] \integral_0^1 \left( t^2*(t^2)^2 + (t^2) *1 + t^2 * 2t\right )dt = \bruch{41}{42} [/mm].
Die andere Kurve geht genauso, nur musst du die in die andere Richtung durchlaufen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mo 03.11.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Gegeben sei eine einfach geschlossene Kurve in der Ebene mit stetig differenzierbarer Parameterdarstellung. Wenden Sie den Greenschen Satz auf diese Kurve und das Vektorfeld
[mm] v=\vektor{y \\ -x}
[/mm]
an. Welche bekannte Formel erhalten Sie dabei? |
Vielleicht kann ja hier jemand helfen :)
Als einache Kurve nehme ich einfach mal einen Kreis mit Radius r an.
Nach Green:
[mm] \integral_{C}{vdx}=\integral \integral{rot v dxdy}
[/mm]
In meinem Fall also:
rot(v)=-2
und als integrationsgrenzen wegen Kreis: 0 bis [mm] 2\pi [/mm] ; 0 bis r also
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{r}-2 [/mm] dxdy = [mm] -4\pi [/mm] r
Was habe ich denn hier falsch gemacht? wenn [mm] 2\pi [/mm] r raus kommen würde hätte ich wenigstens den Kreisumfang aber was ist denn [mm] -4\pi [/mm] r ? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mo 03.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei eine einfach geschlossene Kurve in der Ebene
> mit stetig differenzierbarer Parameterdarstellung. Wenden
> Sie den Greenschen Satz auf diese Kurve und das Vektorfeld
>
> [mm]v=\vektor{y \\ -x}[/mm]
>
> an. Welche bekannte Formel erhalten Sie dabei?
> Vielleicht kann ja hier jemand helfen :)
>
> Als einache Kurve nehme ich einfach mal einen Kreis mit
> Radius r an.
> Nach Green:
> [mm]\integral_{C}{vdx}=\integral \integral{rot v dxdy}[/mm]
>
> In meinem Fall also:
> rot(v)=-2
> und als integrationsgrenzen wegen Kreis: 0 bis [mm]2\pi[/mm] ; 0
> bis r also
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{r}-2[/mm] dxdy = [mm]-4\pi[/mm] r
>
> Was habe ich denn hier falsch gemacht? wenn [mm]2\pi[/mm] r raus
> kommen würde hätte ich wenigstens den Kreisumfang aber was
> ist denn [mm]-4\pi[/mm] r ?
Links steht eine Fläche, rechts eine Länge. Das kann nicht sein.
Wie kommst du denn auf dieses Ergebnis? Rechne das mal richtig aus! Das Doppelintegral ist gerade (-2) mal der von C eingeschlossenen Fläche.
Übrigens sollst du die Aussage für eine beliebige Kurve nachweisen. Setze also eine beliebige Parameterdarstellung [mm] $\vektor{x(t) \\ y(t) }$ [/mm] für die Lurve an!
Viele Grüße
Rainer
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