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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:12 Di 24.03.2015 | | Autor: | andreas01 |
Liebe Kollegen,
ich habe zu beweisen, daß gilt:
1/(n+2) < [mm] \integral_{0}^{1}{x^n * e^{x-1} dx} [/mm] < 1/(n+1)
für n aus N einschließlich 0.
mit vollständiger Induktion ist mir klar, nur
mir fehlt nach dem Induktionsanfang und der Induktionsvoraussetzung der weitere Weg??
Vielen Dank! Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Liebe Kollegen,
>
> ich habe zu beweisen, daß gilt:
>
> 1/(n+2) < [mm]\integral_{0}^{1}{x^n * e^{x-1} dx}[/mm] <
> 1/(n+1)
> für n aus N einschließlich 0.
> mit vollständiger Induktion ist mir klar, nur
> mir fehlt nach dem Induktionsanfang und der
> Induktionsvoraussetzung der weitere Weg??
schreib' mal hin, wie weit Du gekommen bist, dann wird man Dir sicher
helfen können. Vermutlich (ich habe es noch nicht selbst gerechnet!) wird
da partielle Integration helfen können.
P.S. Manchmal hilft es auch, wenn man eine Ungleichungskette
[mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n [/mm] < [mm] c_n$
[/mm]
so beweist, dass man die Ungleichungen (hier per Induktion)
[mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n$
[/mm]
und
[mm] $b_n [/mm] < [mm] c_n$
[/mm]
getrennt beweist. Du kannst also auch zwei Induktionsaufgaben aus
Deiner Aufgabe machen. Ob das notwendig ist, weiß ich nicht, aber manchmal
behält man so einfach besser den Überblick.
Gruß,
Marcel
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Danke Marcel,
aber das ist es gerade:
partielle Integration habe ich schon gemacht, aber wie man
[mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] beweist, da hänge ich noch.
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
> Danke Marcel,
>
> aber das ist es gerade:
> partielle Integration habe ich schon gemacht, aber wie
> man
> [mm]a_{n}[/mm] < [mm]b_{n}[/mm] beweist, da hänge ich noch.
> liebe Grüße
schreibe doch mal bitte ALLES bis dahin, wo es hängt. Und wenn es auch
nur der Indukationsanfang und die Induktionsvoraussetzung wäre!
Gruß,
Marcel
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Lieber Marcel,
1/(n+2) < [mm] I_{n} [/mm] < 1/(n+1)
sowie [mm] I_{n+1} [/mm] < [mm] I_{n}
[/mm]
gilt es zu zeigen.
Ich nehme [mm] I_{n} [/mm] > 1/(n + 2)
als Induktionsvoraussetzung.
Ich habe durch part Integration
folgendes gefunden:
[mm] I_{n+1} [/mm] = 1 - [mm] (n+1)*I_{n}.
[/mm]
< 1 - (n+1)* (1/(n+2)
....
= 1/(n+2)
aber irgend etwas scheint nicht zu stimmen.
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lieber Marcel,
>
> 1/(n+2) < [mm]I_{n}[/mm] < 1/(n+1)
> sowie [mm]I_{n+1}[/mm] < [mm]I_{n}[/mm]
> gilt es zu zeigen.
warum [mm] $I_{n+1} [/mm] < [mm] I_n$? [/mm] Steht das auch in der Aufgabe?
> Ich nehme [mm]I_{n}[/mm] > 1/(n + 2)
> als Induktionsvoraussetzung.
>
> Ich habe durch part Integration
> folgendes gefunden:
> [mm]I_{n+1}[/mm] = 1 - [mm](n+1)*I_{n}.[/mm]
> < 1 - (n+1)* (1/(n+2)
> ....
> = 1/(n+2)
>
> aber irgend etwas scheint nicht zu stimmen.
okay, schauen wir nochmal:
$1/(n+2) < [mm] \integral_{0}^{1}{x^n \cdot{} e^{x-1} dx}$
[/mm]
gilt nach I.V.. Nun ist
[mm] $\frac{1}{n+3}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{n+3}-\frac{1}{(n+2)(n+3)} [/mm] < [mm] -\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\integral_{0}^{1}{x^n \cdot{} e^{x-1} dx}$
[/mm]
Es reicht also, zu zeigen, dass die rechte Seite [mm] $\le \int_0^1 x^{n+1}e^{x-1}dx$ [/mm] ist:
[mm] $-\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\integral_{0}^{1}{x^n \cdot{} e^{x-1} dx}\;\red{\stackrel{!}{\le}}\;\int_0^1 x^{n+1}e^{x-1}dx$
[/mm]
Durch äquivalentes Umformen: Es ist also hinreichend
[mm] $\int_0^1 x^n(1-x)e^{x-1}dx\; \le\; \frac{1}{(n+2)(n+3)}$
[/mm]
Das habe ich mal mit Wolfram-Alpha getestet, dieser Weg wird so wohl
nicht funktionieren. Das bedeutet, dass ich an einer Stelle *nicht fein genug*
abgeschätzt habe.
Aber mal 'ne Frage an Dich: Mir kommt diese Ungleichungskette irgendwie
bekannt vor, und zwar aus dem Bereich "Funktionentheorie". Daher würde
ich mir an Deiner Stelle mal angucken, was ihr über
![[]](/images/popup.gif) die Gammafunktion
gelernt habt. Vielleicht gibt's da was *analoges*...
Gruß,
Marcel
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Lieber Marcel,
warum [mm] I_{n+1} [/mm] < [mm] I_n [/mm] ? Steht das auch in der Aufgabe
ja!
ich denk mir das Ganze noch einmal durch,
und Danke
lg,
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
> Lieber Marcel,
>
> warum [mm]I_{n+1}[/mm] < [mm]I_n[/mm] ? Steht das auch in der Aufgabe
> ja!
naja, aber das bedarf keiner großen Zusatzüberlegung, wenn Du die
behauptete Ungleichungskette gezeigt hast:
Mit [mm] $I_n:=$ \integral_{0}^{1}{x^n \cdot{} e^{x-1} dx}$ [/mm] folgt dann ja
[mm] $\frac{1}{n+3} [/mm] < [mm] I_{n+1} [/mm] < [mm] \frac{1}{n+2} [/mm] < [mm] I_n$
[/mm]
Also mach' Dir dahingehend keine zu großen Sorgen.
Nebenbei: Wenn Du
[mm] $a_n \in (x_{n+1},x_n)$
[/mm]
für eine streng monoton fallende Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] weißt, dann weißt Du schon, dass
auch [mm] $(a_n)$ [/mm] streng fallend ist. Wegen
[mm] $a_{n+1} [/mm] < [mm] x_{n+1} [/mm] < [mm] a_n$
[/mm]
ist das klar. *Optisch* siehst Du das, weil das Intervall
[mm] $(x_{n+2},x_{n+1})$
[/mm]
echt links vom Intervall [mm] $(x_{n+1},x_n)$ [/mm] auf dem Zahlenstrahl liegt und die
Intervalle einen leeren Schnitt haben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 27.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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