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Hi
ist schon wieder ein bisschen her bei mir, deswegen müsste mir mal jemand auf die Sprünge helfen. Wie kann ich
[mm] c_1 sin(c_2*x)
[/mm]
nach x integrieren? [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] sind Konstanten.
Danke und Gruss
Martin
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Hallo Martin,
du musst also [mm] $\int{c_1\cdot{}\sin(c_2\cdot{}x) \ dx}$ [/mm] berechnen...
Das kannst du formal durch die lineare Substitution [mm] $u:=c_2\cdot{}x$ [/mm] machen
Dann ist [mm] $x=\frac{u}{c_2}\Rightarrow \frac{dx}{du}=\frac{1}{c_2}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{du}{c_2}$
[/mm]
Damit ist [mm] $\int{c_1\sin(c_2x) \ dx}=c_1\int{\sin(c_2x) \ dx} [/mm] \ \ $ denn multiplikative Konstante kannst du aus dem Integral rausziehen
[mm] $=c_1\int{\sin(u) \ \frac{du}{c_2}}=\frac{c_1}{c_2}\int{\sin(u) \ du}$
[/mm]
Und das kannst du nun elementar integrieren und dann am Schluss resubstituieren
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich kann dem leider nicht mehr ganz folgen.
x = [mm] u/c_2 [/mm] soweit kann ich noch folgen.
Aber was bedeutet [mm] u/c_2 \Rightarrow [/mm] dx/du jetzt wieder? Und warum ist das dann wieder gleich [mm] 1/c_2.
[/mm]
Kannst du's noch ein bisschen ausführlicher erklären. Bin bei Integralrechnung ein Bisschen raus.
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Hallo!
Hier wird ja eine Substitution gemacht. Aus der Integrationsvariablen x wird eine Integrationsvariable u, wobei die beiden so zusammenhaengen, dass sich eine Vereinfachung ergibt.
Hier also [mm] x=\frac{u}{c_2}
[/mm]
Wenn du das in den SIN einsetzt, wirds einfacher, weil da nur noch sin(u) steht.
Das Problem: Im Integral steht noch dx, das muss auch gegen du getauscht werden. Das macht man mit der Ableitung von x nach u:
[mm] \frac{dx}{du}=\frac{1}{c_2}
[/mm]
Und damit jetzt:
[mm] dx=\frac{1}{c_2}du
[/mm]
Damit tauschst du das dx im Integral aus.
Denk aber auch an die Grenzen. Auch wenn die vorher nicht angegeben waren, vorher waren die ja in "x-Einheiten", aber dein Integral benutzt ja jetzt u. Du musst die also auch umrechnen:
[mm] u=x*c_2
[/mm]
Aus [mm] \int_a^b [/mm] wird also [mm] \int_{a*c_2}^{b*c_2}
[/mm]
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Ok danke. Das Prinzip ist mir jetzt wieder klar. Jetzt noch eine Frage zu einem konkreten Fall. Es geht hier darum, die [mm] a_n [/mm] einer Fourier-Reihe zu berechnen:
s(t) = [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] [ [mm] a_n [/mm] cos(n [mm] w_0 [/mm] t) + [mm] b_n [/mm] sin(n [mm] w_0 [/mm] t) ]
mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{T_0} \integral_{-\bruch{T_0}{2}}^{\bruch{T_0}{2}}{s(t) cos(n w_0 t) dt}
[/mm]
und [mm] w_0 [/mm] = [mm] \bruch{2Pi}{T_0}
[/mm]
Es geht jetzt um die konkrete Funktion
s(t)=0 für t [mm] \in [-\bruch{T_0}{2},-\bruch{T_0}{4})\cup[\bruch{T_0}{4},\bruch{T_0}{2})
[/mm]
s(t)=A für t [mm] \in [-\bruch{T_0}{4},\bruch{T_0}{4})
[/mm]
Ich zitier jetzt hierzu mal aus meinem SKript:
"Die Koeffizienten der Fourierreihe ergeben sich zu
[mm] a_0 [/mm] = A, [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2A}{nPi} [/mm] sin(n [mm] \bruch{Pi}{2}), b_n [/mm] = ..."
Leider komm ich nicht auf dasselbe Ergebnis und mein SKript geht auch nicht weiter darauf ein, wie man auf diese Koeffizienten kommt. Ich habe das hier versucht:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{T_0} \integral_{-\bruch{T_0}{2}}^{\bruch{T_0}{2}}{s(t) cos(n w_0 t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{2}{T_0} \integral_{-\bruch{T_0}{2}}^{\bruch{T_0}{2}}{s(t) cos(\bruch{2 Pi * n t}{T_0}) dt}
[/mm]
u(t) := [mm] \bruch{2 Pi * n t}{T_0}
[/mm]
u'(t) = [mm] \bruch{2 Pi * n}{T_0} [/mm] = [mm] \bruch{du}{dx}
[/mm]
Daher: dx = [mm] \bruch{T_0 du}{2 Pi * n}
[/mm]
Also:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{T_0}{2 Pi * n} \integral_{-\bruch{T_0^2}{8 Pi * n}}^{\bruch{T_0^2}{8 Pi * n}}{cos(u) du}
[/mm]
Wie man sieht komm ich da bei n = 0 auf eine Division durch 0. Kann mir bitte einer weiterhelfen, wie ich das gewünschte Ergebnis erziele?
Vielen Dank
Martin
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Hallo sancho1980,
> Ok danke. Das Prinzip ist mir jetzt wieder klar. Jetzt noch
> eine Frage zu einem konkreten Fall. Es geht hier darum, die
> [mm]a_n[/mm] einer Fourier-Reihe zu berechnen:
>
> s(t) = [mm]\bruch{a_0}{2}[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] [ [mm]a_n[/mm] cos(n
> [mm]w_0[/mm] t) + [mm]b_n[/mm] sin(n [mm]w_0[/mm] t) ]
>
> mit [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{T_0} \integral_{-\bruch{T_0}{2}}^{\bruch{T_0}{2}}{s(t) cos(n w_0 t) dt}[/mm]
>
> und [mm]w_0[/mm] = [mm]\bruch{2Pi}{T_0}[/mm]
>
> Es geht jetzt um die konkrete Funktion
>
> s(t)=0 für t [mm]\in [-\bruch{T_0}{2},-\bruch{T_0}{4})\cup[\bruch{T_0}{4},\bruch{T_0}{2})[/mm]
>
> s(t)=A für t [mm]\in [-\bruch{T_0}{4},\bruch{T_0}{4})[/mm]
>
> Ich zitier jetzt hierzu mal aus meinem SKript:
>
> "Die Koeffizienten der Fourierreihe ergeben sich zu
>
> [mm]a_0[/mm] = A, [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2A}{nPi}[/mm] sin(n [mm]\bruch{Pi}{2}), b_n[/mm] =
> ..."
>
> Leider komm ich nicht auf dasselbe Ergebnis und mein SKript
> geht auch nicht weiter darauf ein, wie man auf diese
> Koeffizienten kommt. Ich habe das hier versucht:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{T_0} \integral_{-\bruch{T_0}{2}}^{\bruch{T_0}{2}}{s(t) cos(n w_0 t) dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{T_0} \integral_{-\bruch{T_0}{2}}^{\bruch{T_0}{2}}{s(t) cos(\bruch{2 Pi * n t}{T_0}) dt}[/mm]
>
> u(t) := [mm]\bruch{2 Pi * n t}{T_0}[/mm]
>
> u'(t) = [mm]\bruch{2 Pi * n}{T_0}[/mm] = [mm]\bruch{du}{dx}[/mm]
>
> Daher: dx = [mm]\bruch{T_0 du}{2 Pi * n}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{T_0}{2 Pi * n} \integral_{-\bruch{T_0^2}{8 Pi * n}}^{\bruch{T_0^2}{8 Pi * n}}{cos(u) du}[/mm]
>
>
> Wie man sieht komm ich da bei n = 0 auf eine Division durch
> 0. Kann mir bitte einer weiterhelfen, wie ich das
> gewünschte Ergebnis erziele?
Da gibt es keine Division durch 0, da die Koeffizienten
[mm]a_{n}=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{s\left(t\right)*\cos\left(n\omega_{0}t\right) dt} [/mm] erst ab [mm]n=1[/mm] definiert sind.
Zweitens ist die Substitution richtig anzuwenden,
z.B. sind die Integrationsgrenzen nicht richtig berechnet worden.
>
> Vielen Dank
>
> Martin
Gruß
MathePower
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> Da gibt es keine Division durch 0, da die Koeffizienten
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{s\left(t\right)*\cos\left(n\omega_{0}t\right) dt}[/mm]
> erst ab [mm]n=1[/mm] definiert sind.
Und wie bekomm ich dann [mm] a_0?
[/mm]
>
> Zweitens ist die Substitution richtig anzuwenden,
> z.B. sind die Integrationsgrenzen nicht richtig berechnet
> worden.
Kannst du mir auch zeigen wie's dann richtig geht?
Gruss
Martin
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Hallo sancho1980,
> > Da gibt es keine Division durch 0, da die Koeffizienten
> >
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{s\left(t\right)*\cos\left(n\omega_{0}t\right) dt}[/mm]
> > erst ab [mm]n=1[/mm] definiert sind.
>
> Und wie bekomm ich dann [mm]a_0?[/mm]
[mm]a_{0}=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{s\left(t\right) dt}[/mm]
>
> >
> > Zweitens ist die Substitution richtig anzuwenden,
> > z.B. sind die Integrationsgrenzen nicht richtig
> berechnet
> > worden.
>
> Kannst du mir auch zeigen wie's dann richtig geht?
Wir gehen von
[mm]a_{n}=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{s\left(t\right)*\cos\left(n\omega_{0}t\right) dt}[/mm]
aus.
Nun wenden wir die Subsitution [mm]u=n*\omega_{0}*t[/mm] an:
[mm]\Rightarrow du = n*\omega_{0} \ dt[/mm]
sowie
[mm]t=\bruch{u}{n\omega_{0}}[/mm]
bzw.
[mm]dt=\bruch{1}{n\omega_{0}} \ du[/mm]
Und die neuen Integrationsgrenzen ergeben sich zu:
[mm]u_{2}=n*\omega_{0}*\bruch{T_{0}}{2}=n*\bruch{2*\pi}{2}=n*\pi[/mm]
[mm]u_{1}=n*\omega_{0}*\left(-\bruch{T_{0}}{2}\right)=-n*\bruch{2*\pi}{2}=-n*\pi[/mm]
Damit folgt:
[mm]a_{n}=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{s\left(t\right)*\cos\left(n\omega_{0}t\right) dt}=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-n\pi}^{+n\pi}{s\left(\bruch{u}{n*\omega_{0}}\right)*\cos\left(u\right)*\bruch{1} {n\omega_{0}} \ du}[/mm]
[mm]=\bruch{2}{T_{0}*n*\omega_{0}}*\integral_{-n\pi}^{+n\pi}{s\left(\bruch{u}{n*\omega_{0}}\right)*\cos\left(u\right) \ du}=\bruch{2}{n*2*\pi}*\integral_{-n\pi}^{+n\pi}{s\left(\bruch{u}{n*\omega_{0}}\right)*\cos\left(u\right) \ du} [/mm]
[mm]=\bruch{1}{n*\pi}*\integral_{-n\pi}^{+n\pi}{s\left(\bruch{u}{n*\omega_{0}}\right)*\cos\left(u\right) \ du}[/mm]
>
> Gruss
>
> Martin
Gruss
MathePower
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Ok das hat schon mal sehr geholfen.
Im konkreten Fall ist jetzt s(t) im besagten Intervall wie gesagt gleich A.
Dann komm ich nach einsetzen auf:
[mm] a_n [/mm] = 4 Pi n A (sin(n*Pi) - sin(-n * Pi))
Wie gesagt laut meinem Skript ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2A}{n * Pi} [/mm] sin(n * [mm] \bruch{Pi}{2})
[/mm]
Also ich bin leider immer noch nicht am Ziel.
Und was ist mit [mm] a_0. [/mm] Wie ermittel ich das?
Vielen Dank
Martin
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Hallo sancho1980,
> Ok das hat schon mal sehr geholfen.
> Im konkreten Fall ist jetzt s(t) im besagten Intervall wie
> gesagt gleich A.
>
> Dann komm ich nach einsetzen auf:
>
> [mm]a_n[/mm] = 4 Pi n A (-sin(n*Pi) + sin(-n * Pi))
>
> Wie gesagt laut meinem Skript ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2A}{n * Pi}[/mm]
> sin(n * [mm]\bruch{Pi}{2})[/mm]
>
> Also ich bin leider immer noch nicht am Ziel.
Beachte die Definition der Funktion.
Dann kommt das gewünschte auch heraus.
[mm]a_{n}= \bruch{1}{n\cdot{}\pi}\cdot{}\integral_{-n\pi}^{+n\pi}{s\left(\bruch{u}{n\cdot{}\omega_{0}}\right)\cdot{}\cos\left(u\right) \ du}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{n\cdot{}\pi}\cdot{}\integral_{-n\pi}^{-n\bruch{\pi}{2}}{0\cdot\cos\left(u\right)\ du} + \bruch{1}{n\cdot{}\pi}\cdot{}\integral_{-n\bruch{\pi}{2}}^{+n\bruch{\pi}{2}}{A\cdot\cos\left(u\right)\ du}+\bruch{1}{n\cdot{}\pi}\cdot{}\integral_{n\bruch{\pi}{2}}^{n\pi}{0\cdot\cos\left(u\right)\ du}[/mm]
>
> Und was ist mit [mm]a_0.[/mm] Wie ermittel ich das?
[mm]a_{0}=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{s\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{-\bruch{T_{0}}{4}}{0 \ dt}+ \bruch{2}{T_{0}}*\integral_{-\bruch{T_{0}}{4}}^{\bruch{T_{0}}{4}}{A \ dt}+\bruch{2}{T_{0}}*\integral_{\bruch{T_{0}}{4}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{0 \ dt}[/mm]
>
> Vielen Dank
>
> Martin
Gruß
MathePower
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> Beachte die Definition der Funktion.
> Dann kommt das gewünschte auch heraus.
Definition von welcher Funktion? Vom Sinus?
Ich hab nur eben bemerkt dass:
(sin(n*Pi) - sin(-n * Pi)) = 0
Das würde ja bedeuten [mm] a_n [/mm] = 0!
Echt, ich bin total am Ende. Klär mich doch mal bitte auf. Und wie berechnet man [mm] a_0?
[/mm]
Gruss
Martin
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Hallo sancho1980,
> > Beachte die Definition der Funktion.
> > Dann kommt das gewünschte auch heraus.
>
> Definition von welcher Funktion? Vom Sinus?
Von dieser hier:
s(t)=0 für t $ [mm] \in [-\bruch{T_0}{2},-\bruch{T_0}{4})\cup[\bruch{T_0}{4},\bruch{T_0}{2}) [/mm] $
s(t)=A für t $ [mm] \in [-\bruch{T_0}{4},\bruch{T_0}{4}) [/mm] $
> Ich hab nur eben bemerkt dass:
>
> (sin(n*Pi) - sin(-n * Pi)) = 0
>
> Das würde ja bedeuten [mm]a_n[/mm] = 0!
>
> Echt, ich bin total am Ende. Klär mich doch mal bitte auf.
> Und wie berechnet man [mm]a_0?[/mm]
> Gruss
>
> Martin
Gruss
MathePower
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Ich glaub ich weiß was du sagen willst. Ich muss ja jetzt die Intervalle berücksichtigen, und s(t) ist manchmal 0 und manchmal 1. Heißt das, ich muss jetzt nach deinem Lösungsweg auch nochmal partiell integrieren, oder gab's da ne Abkürzung?
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Hallo sancho1980,
> Ich glaub ich weiß was du sagen willst. Ich muss ja jetzt
> die Intervalle berücksichtigen, und s(t) ist manchmal 0 und
> manchmal 1. Heißt das, ich muss jetzt nach deinem
> Lösungsweg auch nochmal partiell integrieren, oder gab's da
> ne Abkürzung?
Das heisst, daß Du das Integral über die ganze Periode. in 3 kleinere Integrale aufteilen mußt.
Gruß
MathePower
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Vielen Dank.
Ich hab's raus.
Letzte Frage, der du immer wieder ausgewichen bist: Wie berechnet man [mm] a_0?
[/mm]
Lieber Gruss
Martin
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Hallo sancho1980,
> Vielen Dank.
> Ich hab's raus.
> Letzte Frage, der du immer wieder ausgewichen bist: Wie
> berechnet man [mm]a_0?[/mm]
Das habe ich hier geschrieben.
> Lieber Gruss
> Martin
Gruss
MathePower
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Ok nochmal vielen Dank.
Ich hab hier so einen Kurs zu Netzwerken belegt, und der setzt ganz selbstverständlich voraus, dass man mit Fourierreihen Erfahrung hat, obwohl ich damit noch nie was zu tun hatte. Also sorry für die dummen Fragen 
Eine letzte Frage noch:
Deine Formel für [mm] a_0:
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{2}{T_0} [/mm] * [mm] \integral_{I}^{}{s(t) dt}
[/mm]
kann ich in dem Skript nirgends finden. Wenn ich jetzt parallel dazu die [mm] b_n [/mm] der Fourier-Reihe berechne, wie ist dann die Formel für [mm] b_0? [/mm] Genauso?
Vielen Gruß und danke
Martin
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Hallo sancho1980,
> Ok nochmal vielen Dank.
> Ich hab hier so einen Kurs zu Netzwerken belegt, und der
> setzt ganz selbstverständlich voraus, dass man mit
> Fourierreihen Erfahrung hat, obwohl ich damit noch nie was
> zu tun hatte. Also sorry für die dummen Fragen
> Eine letzte Frage noch:
>
> Deine Formel für [mm]a_0:[/mm]
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]\bruch{2}{T_0}[/mm] * [mm]\integral_{I}^{}{s(t) dt}[/mm]
>
> kann ich in dem Skript nirgends finden. Wenn ich jetzt
> parallel dazu die [mm]b_n[/mm] der Fourier-Reihe berechne, wie ist
> dann die Formel für [mm]b_0?[/mm] Genauso?
Eine Formel für [mm]b_{0}[/mm] gibt es nicht.
Es gilt: [mm]s\left(t\right)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}{a_{n}*\cos\left(n*\omega_{0}*t\right)+b_{n}*\sin\left(n*\omega_{0}*t\right)}[/mm]
Laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia lauten die Formeln für die Koeffizieten so:
[mm]\bruch{a_{0}}{2} = \bruch{1}{T_0}[/mm] * [mm]\integral_{I}^{}{s(t) dt}[/mm]
[mm]\bruch{a_{0}}{2}[/mm] ist das sogenannte Gleichglied, also der Mittelwert der Funktion [mm]s\left(t\right)[/mm].
[mm]a_{n} = \bruch{2}{T_0}[/mm] * [mm]\integral_{I}^{}{s(t) \cos\left(n*\omega_{0}*t\right)dt}, \ n \in \IN[/mm]
[mm]b_{n} = \bruch{2}{T_0}[/mm] * [mm]\integral_{I}^{}{s(t) \sin\left(n*\omega_{0}*t\right)dt}, \ n \in \IN[/mm]
Wobei man sich diese Formel auch selbst herleiten kann, denn [mm]\cos\left(r*\omega_{0}*t\right)[/mm] und [mm]\sin\left(s*\omega_{0}*t\right)[/mm] eine Basis, denn
[mm]\integral_{-\bruch{T_{0}}{2}}^{\bruch{T_{0}}{2}}{\sin\left(s*\omega_{0}*t\right)*\cos\left(r*\omega_{0}*t\right) dt}=0, \ r \not=s, \ r,s \in \IN[/mm]
>
> Vielen Gruß und danke
>
> Martin
Gruß
MathePower
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