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Forum "Integralrechnung" - Integration
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Integration: Substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Fr 31.01.2014
Autor: sonic5000

Hallo,
folgendes unbestimmtes Integral soll durch Substitution gelöst werden:

[mm] \integral\bruch{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx [/mm]

In der Lösung steht nun folgende Substitution:

x=2sin(u)

Wie kommen die darauf?

Leider komme damit auch nicht viel weiter...

Es folgt also:

[mm] \bruch{dx}{du}=2cos(u) [/mm]

dx=2cos(u)*du  

Nun setze ich ein:

[mm] \integral\bruch{\wurzel{4-(2sin (u))^2}}{(2sin(u))^2}*2cos(u)*du [/mm]

Hat jemand eine Idee wie es hier weiter gehen könnte?

LG und besten Dank im Voraus...


        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 Fr 31.01.2014
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Hallo,
>  folgendes unbestimmtes Integral soll durch Substitution
> gelöst werden:
>  
> [mm]\integral\bruch{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx[/mm]
>  
> In der Lösung steht nun folgende Substitution:
>  
> x=2sin(u)
>  
> Wie kommen die darauf?

Naja, die Standardantwort ist: Man braucht ein bisschen Erfahrung. Wenn man einige Integrale gelöst hat, kommt man selbst auf solche Ideen, weil man es dann schon irgendwo anders mal so ähnlich gelöst hat.

Ein Hinweis ist aber folgender: Die Identität [mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] = 1$ sollte dir wohlbekannt sein.

Wenn man jetzt $x = [mm] 2\sin(u)$ [/mm] oder $x = [mm] 2\cos(u)$ [/mm] substituiert, erreicht man, dass die Wurzel verschwindet (s.u.), ohne im Nenner eine neue Wurzel zu erzeigen, und das vereinfacht das Integral dann meistens.


> Leider komme damit auch nicht viel weiter...
>  
> Es folgt also:
>  
> [mm]\bruch{dx}{du}=2cos(u)[/mm]
>  
> dx=2cos(u)*du  

Ja.

> Nun setze ich ein:
>  
> [mm]\integral\bruch{\wurzel{4-(2sin (u))^2}}{(2sin(u))^2}*2cos(u)*du[/mm]
>  
> Hat jemand eine Idee wie es hier weiter gehen könnte?

Benutze wie gesagt [mm] $\sin(u)^2 [/mm] + [mm] \cos(u)^2 [/mm] = 1$ (*) bzw. [mm] $(2\sin(u))^2 [/mm] + [mm] (2\cos(u))^2 [/mm] = 4$.
Dadurch kannst du die Wurzel entfernen. Im Integral sollte dann nur noch stehen:

[mm] $\frac{\cos^2(u)}{\sin^2(u)}$. [/mm]

Mit Hilfe von (*) kannst du das (unter anderem) zu einem Integral [mm] $1/\sin^2(u)$ [/mm] vereinfachen.

Das ist ein bekanntes Integral. Rechne doch mal die Ableitung  [mm] $\frac{\partial}{\partial u}\tan(u)$ [/mm] aus. Kannst du es damit lösen? (Du wirst sehen, dass [mm] $\tan(u)$ [/mm] nicht die Lösung ist, aber vielleicht gibt es dir einen Hinweis, was das Integral ist).


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:39 Sa 01.02.2014
Autor: sonic5000

Hallo,

erstmal Danke für die ausführliche Informationen...

Es gilt also:

[mm] (sin(x))^2=\bruch{1-cos(2x)}{2} [/mm]

Dann folgt aus:

[mm] \wurzel{1-\bruch{1-cos(2x)}{2}} [/mm]

Das hier:

|cos(x)|

Der Schritt ist mir nicht ganz klar... Wie verschwindet hier die Wurzel?

LG


Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:35 Sa 01.02.2014
Autor: reverend

Hallo sonic,

im Comic würde hier wahrscheinlich "Gnurps" stehen.

> erstmal Danke für die ausführliche Informationen...
>  
> Es gilt also:
>  
> [mm](sin(x))^2=\bruch{1-cos(2x)}{2}[/mm]

Ja.

> Dann folgt aus:
>  
> [mm]\wurzel{1-\bruch{1-cos(2x)}{2}}[/mm]
>  
> Das hier:
>  
> |cos(x)|
>  
> Der Schritt ist mir nicht ganz klar... Wie verschwindet
> hier die Wurzel?

[mm] \sin^2{x}+\cos^2{x}=1 [/mm]
Das solltest Du auch nach drei durchgemachten Nächten und 3 Promille noch wissen. Oder in jeder anderen Art von Koma.

Grüße
reverend

Bezug
                                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:40 Sa 01.02.2014
Autor: sonic5000

oh je, dabei bin ich doch so gut wie straight...
Ich glaube ich muss mir Gedanken machen ;-)

Bezug
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