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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | ie Strecke C von −l/2 bis l/2 auf der x1-Achse sei elektrisch homogen geladen. Berechnen Sie das zugehörige Coulomb-Potential gegeben durch (bis auf Konstanten)
U(y) = [mm] \integral_{C}{\bruch{ds}{|y - x|}} [/mm] y [mm] \in \IR^3 \backslash [/mm] C |
Hallo zusammen,
mein Anfang ist so:
x = [mm] \vektor{s \\ 0 \\ 0} [/mm] und y = [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}.
[/mm]
Dies eingesetzt:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{(y_1 - s)^2 + y_2^2 + y_3^2}} ds}
[/mm]
Mein Prof gab mir den Tipp, dass ich darauf doppelt Integrieren muss und da liegt mein großes Problem. Ich krieg das einfach nicht hin. Kann mir da vielleicht jemand bitte helfen? Ich verzweifel da so langsam dran.
Vielen vielen Dank schonmal
Vg Exel84
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mi 29.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> ie Strecke C von −l/2 bis l/2 auf der x1-Achse sei
> elektrisch homogen geladen. Berechnen Sie das zugehörige
> Coulomb-Potential gegeben durch (bis auf Konstanten)
>
> U(y) = [mm]\integral_{C}{\bruch{ds}{|y - x|}}[/mm] y [mm]\in \IR^3 \backslash[/mm]
> C
> Hallo zusammen,
>
> mein Anfang ist so:
>
> x = [mm]\vektor{s \\ 0 \\ 0}[/mm] und y = [mm]\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}.[/mm]
>
> Dies eingesetzt:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{(y_1 - s)^2 + y_2^2 + y_3^2}} ds}[/mm]
>
> Mein Prof gab mir den Tipp, dass ich darauf doppelt
> Integrieren muss
Unsinn.
Durch einfache Substitutionen geht das Integral über in [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}} dx}
[/mm]
Eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] ist arsinh(x)
FRED
> und da liegt mein großes Problem. Ich
> krieg das einfach nicht hin. Kann mir da vielleicht jemand
> bitte helfen? Ich verzweifel da so langsam dran.
>
> Vielen vielen Dank schonmal
>
> Vg Exel84
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Exel84 |
Danke für deine schnelle Antwort
Ich meinte doppelt substituieren. Aber wenn du meinst, dass es so geht, dann versuch ich mein Glück mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Exel84 |
Hallo,
ich habe versucht die Aufgabe zu lösen aber leider ohne Erfolg. Kann mir da bitte jemand zeigen, wie man da am besten substituiert? Ich kriege es einfach nicht gebacken.
Vielen Dank im Voraus
VG Exel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:21 Do 30.10.2014 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo,
>
> ich habe versucht die Aufgabe zu lösen aber leider ohne
> Erfolg. Kann mir da bitte jemand zeigen, wie man da am
> besten substituiert? Ich kriege es einfach nicht gebacken.
1. Substituiere t=s-y_1 und setze c:=\wurzel{y_2^2+y_3^2}
Dies führt auf
$ \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{t^2 + c^2}} dt} $
Weiter ist $ \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{t^2 + c^2}} dt}=c* \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{(t/c)^2}+1} dt $
Substituiere nun x=\bruch{t}{c}
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> VG Exel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ich habe die Aufgabe jetzt so gelöst:
u(y) = [mm] \integral_{C}\bruch{ds}{|y - x|}
[/mm]
mit x = [mm] \vektor{s \\ 0\\ 0} [/mm] und y= [mm] \vektor{y_1 \\ y_2\\ y_3}
[/mm]
= u(y) = [mm] \integral_{C}\bruch{ds} {\wurzel {(y_1 -s)^2 + y_2^2 + y_3^2}}
[/mm]
Sub: t = [mm] y_1 [/mm] - s ; [mm] c^2=y_2^2 [/mm] + [mm] y_3^2
[/mm]
= u(y) = [mm] \integral_{C}\bruch{dt} {\wurzel {t^2 + c^2}}
[/mm]
Sub.: z = [mm] t^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] ; [mm] \bruch{dz}{dt}= [/mm] 2t => dt [mm] =\bruch{dz}{2t}
[/mm]
= [mm] \integral_{C}\bruch{dz} {\wurzel {z}*2t}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2t} \integral_{C}\bruch{1}{\wurzel {z}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2t} [/mm] * 2 * [mm] \wurzel{z} [/mm] + c
= [mm] \bruch{\wurzel{z}}{t} [/mm] + c
= [mm] \bruch{\wurzel{t^2 + c_1^2}}{t} [/mm] + [mm] c_2 [/mm] \ quadr.
= [mm] \bruch{t^2 + c_1^2}{t^2} [/mm] + [mm] c_2^2
[/mm]
= [mm] \bruch{c_1^2}{t^2} [/mm] +1 + [mm] c_2^2 [/mm] \ Wurzel
= [mm] \wurzel{{(\bruch{c_1}{t})^2}} [/mm] +1 + [mm] c_2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{{(\bruch{c_1}{t})^2}} +1}+ c_2
[/mm]
Jezt würde ich, damit ich auf deinen Lösung komme das [mm] x=\bruch{t}{c} [/mm] ersetzen und dann kommt
= [mm] \bruch{1}{x+1}+ c_2 [/mm] heraus.
Ich verstehe nur nicht wie du bei deiner Lösung ein c vor das Integral ziehen kannst??
Vg Exel84
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 02.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich habe die Aufgabe jetzt so gelöst:
>
> u(y) = [mm]\integral_{C}\bruch{ds}{|y - x|}[/mm]
>
> mit x = [mm]\vektor{s \\ 0\\ 0}[/mm] und y= [mm]\vektor{y_1 \\ y_2\\ y_3}[/mm]
>
> = u(y) = [mm]\integral_{C}\bruch{ds} {\wurzel {(y_1 -s)^2 + y_2^2 + y_3^2}}[/mm]
>
> Sub: t = [mm]y_1[/mm] - s ; [mm]c^2=y_2^2[/mm] + [mm]y_3^2[/mm]
>
>
> = u(y) = [mm]\integral_{C}\bruch{dt} {\wurzel {t^2 + c^2}}[/mm]
>
> Sub.: z = [mm]t^2[/mm] + [mm]c^2[/mm] ; [mm]\bruch{dz}{dt}=[/mm] 2t => dt
> [mm]=\bruch{dz}{2t}[/mm]
>
diese Substitution ist nicht zielführend, die richtige wurde dir gesagt.
> = [mm]\integral_{C}\bruch{dz} {\wurzel {z}*2t}[/mm]
>
wenn du substituierst musst du alles durch z ausdrücken denn t hängt ja von z ab, Deshalb ist dein nächster Schritt schlimm,
[mm] \bruch{1}{2t} [/mm] ist doch keine Konstante! t [mm] t*sqrt{z-c^2} [/mm] wenn du das einsetzt merkst du warum die Substitution, die du gewählt hast nichts hilft.
MERKE: BEI EINER SUBSTITUTION Z=F(T) MUSS MAN ALLE T DURCH F^(-1)(Z) ERSETZEN
> = [mm]\bruch{1}{2t} \integral_{C}\bruch{1}{\wurzel {z}}[/mm]
Der Rest ist also falsch.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 02.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort.
Ist das letzte Integral [mm] \bruch{1}{2t}\integral_{C}{\bruch{1}{\wurzel{z}}} [/mm] jetzt die richtige Lösung?? Bin jetzt iwie total durcheinander.
Vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 02.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo i
ch hatte doch geschrieben dass dein Integral
$ [mm] \bruch{1}{2t}\integral_{C}{\bruch{1}{\wurzel{z}}} [/mm] $ völlig falsch ist, ich glaube ich schrieb die Umformung, nämlich [mm] 1/\srt{t} [/mm] aus dem Integral zu ziehen sei schlimm, natüröich ist das dann falsch, warum habe ich erklart, du kannst doch nicht einfach eine fkt, die vin z abhängt aus dem integral ziehen, wenn du nach z integrierst!
nimm die substitution die dir genannt wurde. Warum geben wir denn ratschläge, wenn du nichts damit anfängst?
Gruß leduart
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