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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integration
Integration < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Do 04.06.2020
Autor: James90

Hallo,

mache ich beim Integrieren einen Fehler?

[mm] \int_{1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dxdy [/mm]

Mit [mm] $t:=x^2$ [/mm] erhalte ich $dx=dt/2x$ und somit

[mm] \int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx=\int_{0}^{\infty}ye^{-yt^2}dt=[-ye^{-yt^2}]|_{0}^{\infty}=y [/mm]

Also [mm] \int_{1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dxdy=\int_{1}^{\infty}ydy=\infty [/mm]

Und: Habt ihr einen Tipp für die folgenden zwei Integrale?
[mm] \int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}e^{y^3}dydx [/mm] und [mm] \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{x+y}dxdy [/mm]

Zum ersten Integral: Welche Substitution führt hier zum Ziel?
Zum zweiten Integral: Es ist klar, dass [mm] \log(x+y) [/mm] eine Stammfunktion von [mm] \frac{1}{x+y} [/mm] ist. [mm] \log(x+y) [/mm] kann man wieder integrieren, aber dann erhalte ich [mm] y*log(1+1/y)+\log(y+1) [/mm] und somit bei der unteren Grenze ein Problem ...

Dankeschön und viele Grüße!


        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Fr 05.06.2020
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> mache ich beim Integrieren einen Fehler?
>  
> [mm]\int_{1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dxdy[/mm]


Der Klarheit halber: Du meinst vermutlich
[mm]\int_{y=1}^{\infty}\int_{x=0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dxdy[/mm]

>  
> Mit [mm]t:=x^2[/mm] erhalte ich [mm]dx=dt/2x[/mm] und somit
>  
> [mm]\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx=\int_{0}^{\infty}ye^{-yt^2}dt=[-ye^{-yt^2}]|_{0}^{\infty}=y[/mm]

[notok]

Zunächst mal ist [mm] xy^2 \not= (xy)^2=x^2y^2. [/mm]  Ein [mm] x^2 [/mm] kommt hier gar nicht vor, deshalb ist [mm] t=x^2 [/mm] auch hier nicht sinnvoll (es sei denn, es ist [mm] e^{-(xy)^2} [/mm] gemeint und du hast die Klammer beim Abschreiben weggelassen.

Richtig wäre jetzt:  [mm]\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx=\int_{0}^{\infty}ye^{-y^2\wurzel{t}}dt= ?[/mm]


Aber die Idee ist grundsätzlich hier angebracht. Zunächst:

[mm]\int_{y=1}^{\infty}\int_{x=0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dxdy[/mm]=[mm]\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=1}^{\infty}(2y)xe^{-xy^2}dydx[/mm] (darf man das?).

Und jetzt mit [mm] t=xy^2 [/mm] dasselbe nochmal, wobei du zunächst x wie eine Konstante betrachtest und nach y (bzw. t) integrierst. Achte dabei auf die veränderten Intervallgrenzen! Du solltest [mm] e^{-x} [/mm] erhalten. Jetzt noch nach x integrieren.

Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Fr 05.06.2020
Autor: James90

Jetzt sehe ich meinen blöden Fehler, danke dir!

> Richtig wäre jetzt:  
> [mm]\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx=\int_{0}^{\infty}ye^{-y^2\wurzel{t}}dt= ?[/mm]

> Aber die Idee ist grundsätzlich hier angebracht.
> Zunächst:
>  
> [mm]\int_{y=1}^{\infty}\int_{x=0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dxdy[/mm]=[mm]\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=1}^{\infty}(2y)xe^{-xy^2}dydx[/mm]
> (darf man das?).

Super! Ja, das darf man nach dem Satz von Tonelli, weil die Funktion auf dem Intervall nichtnegativ ist.
  

> Und jetzt mit [mm]t=y^2[/mm] dasselbe nochmal. Danach partielle
> Integration mit x.

[mm] $\int xe^{-x^2\wurzel{t}}dt$ [/mm]

Kann man das Integral hier echt einfach "sehen"?

Ich sehe dort leider nur [mm] $\frac{-2e^{-x^2\sqrt{t}}}{x}$, [/mm] aber im Nenner würde noch ein t fehlen, was dann natürlich nicht mehr stimmt (Ableitung/Probe) ...

Viele Grüße!

Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Fr 05.06.2020
Autor: HJKweseleit


> Jetzt sehe ich meinen blöden Fehler, danke dir!
>  
> > Richtig wäre jetzt:  
> >
> [mm]\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx=\int_{0}^{\infty}ye^{-y^2\wurzel{t}}dt= ?[/mm]
>  
> > Aber die Idee ist grundsätzlich hier angebracht.
> > Zunächst:
>  >  
> >
> [mm]\int_{y=1}^{\infty}\int_{x=0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dxdy[/mm]=[mm]\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=1}^{\infty}(2y)xe^{-xy^2}dydx[/mm]
> > (darf man das?).
>  
> Super! Ja, das darf man nach dem Satz von Tonelli, weil die
> Funktion auf dem Intervall nichtnegativ ist.  [ok]
>    
> > Und jetzt mit [mm]t=y^2[/mm] dasselbe nochmal. Danach partielle
> > Integration mit x.
>
> [mm]\int xe^{-x^2\wurzel{t}}dt[/mm]
>  
> Kann man das Integral hier echt einfach "sehen"?

>  
> Ich sehe dort leider nur [mm]\frac{-2e^{-x^2\sqrt{t}}}{x}[/mm], aber
> im Nenner würde noch ein t fehlen, was dann natürlich
> nicht mehr stimmt (Ableitung/Probe) ...

[mm] \int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx=\int_{0}^{\infty}ye^{-y^2\wurzel{t}}dt [/mm]


Du ersetzt doch 2xdx durch dt. Und weil [mm] t=x^2 [/mm] gesetzt wurde, ist [mm] x=\wurzel{t}. [/mm] Das y bleibt dabei unverändert. Aber wie willst du nun eine Stammfunktion finden?



>  
> Viele Grüße!


Bezug
                                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Fr 05.06.2020
Autor: James90


> > Jetzt sehe ich meinen blöden Fehler, danke dir!
>  >  
> > > Richtig wäre jetzt:  
> > >
> >
> [mm]\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx=\int_{0}^{\infty}ye^{-y^2\wurzel{t}}dt= ?[/mm]
>  
> >  

> > > Aber die Idee ist grundsätzlich hier angebracht.
> > > Zunächst:
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]\int_{y=1}^{\infty}\int_{x=0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dxdy[/mm]=[mm]\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=1}^{\infty}(2y)xe^{-xy^2}dydx[/mm]
> > > (darf man das?).
>  >  
> > Super! Ja, das darf man nach dem Satz von Tonelli, weil die
> > Funktion auf dem Intervall nichtnegativ ist.  [ok]
>  >    
> > > Und jetzt mit [mm]t=y^2[/mm] dasselbe nochmal. Danach partielle
> > > Integration mit x.
> >
> > [mm]\int xe^{-x^2\wurzel{t}}dt[/mm]
>  >  
> > Kann man das Integral hier echt einfach "sehen"?
>  
> >  

> > Ich sehe dort leider nur [mm]\frac{-2e^{-x^2\sqrt{t}}}{x}[/mm], aber
> > im Nenner würde noch ein t fehlen, was dann natürlich
> > nicht mehr stimmt (Ableitung/Probe) ...
>  
> [mm]\int_{0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx=\int_{0}^{\infty}ye^{-y^2\wurzel{t}}dt[/mm]
>  
>
> Du ersetzt doch 2xdx durch dt. Und weil [mm]t=x^2[/mm] gesetzt
> wurde, ist [mm]x=\wurzel{t}.[/mm] Das y bleibt dabei unverändert.
> Aber wie willst du nun eine Stammfunktion finden?

Das würde ich nun über partielle Integration machen.
Leider wird das dann mit dem Grenzübergang etwas "unschön".
Ich habe gehofft, dass es irgendwie besser geht ...

Kannst du mir bitte noch einen Tipp zu den anderen zwei Aufgaben geben?

Danke Dir!


Bezug
                                        
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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Fr 05.06.2020
Autor: HJKweseleit

Irgendwie haben wir aneinander vorbei geredet. Deine Substitution ist unproduktiv, weil du eine Wurzel im Exponenten erhältst und dadurch alles verkompliziert statt vereinfacht wird. Hier die komplette Lösung:

[mm]\int_{y=1}^{\infty}(\int_{x=0}^{\infty}2xye^{-xy^2}dx)dy[/mm]=[mm]\int_{x=0}^{\infty}(\int_{y=1}^{\infty}2xye^{-xy^2}dy)dx[/mm]

Ich greife [mm] \int_{y=1}^{\infty}2xye^{-xy^2}dy [/mm] heraus, behandle x wie eine Konstante und substituiere [mm] t=xy^2. [/mm]
Dann ist dt=2xy*dy, da x als Konstante behandelt wird. Damit kann ich nun den Exponenten [mm] xy^2 [/mm] in t verwandeln und 2xy*dy in dt:

[mm]\int_{y=1}^{\infty}2xye^{-xy^2}dy[/mm]= [mm]\int_{t=?}^{\infty}e^{-t}dt[/mm]=...

Die Grenzen müssen ebenfalls verändert werden: wenn y=1 ist, ist [mm] t=xy^2=x*1^2=x, [/mm] und wenn [mm] y=\infty [/mm] ist, ist [mm] t=xy^2=\infty, [/mm] da x immer positiv oder 0 ist. Für positive x erhält man:

...[mm]\int_{t=x}^{\infty}e^{-t}dt[/mm][mm] =-e^{-t}|_x^\infty=-0-(-e^{-x})=e^{-x}, [/mm] falls x>0.

Für den Fall x=0 ergibt das Integral den Wert 0.

Nun berechnen wir mit zunächst einem "Fehler"
[mm]\int_{x=0}^{\infty}(\int_{y=1}^{\infty}2xye^{-xy^2}dy)dx[/mm] =[mm]\int_{x=0}^{\infty}e^{-x}dx[/mm] [mm] =-e^{-x}|_0^\infty=-0-(-1)=1 [/mm]

Der Fehler besteht darin, dass bei der Intervallgrenze x=0 im Integranden nicht der Wert [mm] e^{-x}=e^0=1 [/mm] genommen werden darf, sondern der Wert 0. Da dies aber nur für den einen Punkt gilt, ändert es den Wert des Integrals nicht. Genau genommen müsste man von 0 bis [mm] \epsilon [/mm] integrieren und danach noch mal von [mm] \epsilon [/mm] bis [mm] \infty, [/mm] wobei das erste Integral für [mm] \epsilon \mapsto [/mm] 0 gegen 0 und das zweite gegen 1 gehen würde.



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Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Fr 19.06.2020
Autor: James90

Vielen lieben Dank für deine großartige Hilfe!

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