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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 17.09.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{ \wurzel{1-x^{2}-y^{2} } dx} [/mm] |
Im Rahmen einer Analysis 3 Aufgabe (Integralrechnung in [mm] \IR^{n}) [/mm] komme ich an diesem Integral einfach nicht weiter. Ich habe das Integral per PC lösen lassen, weiss aber nicht wie man ohne Rechner darauf kommt.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich vorzugehen habe?!
Danke!
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Hallo Sacha,
> [mm]\integral_{}^{}{ \wurzel{1-x^{2}-y^{2} } dx}[/mm]
> Im Rahmen
> einer Analysis 3 Aufgabe (Integralrechnung in [mm]\IR^{n})[/mm]
> komme ich an diesem Integral einfach nicht weiter. Ich habe
> das Integral per PC lösen lassen, weiss aber nicht wie man
> ohne Rechner darauf kommt.
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich vorzugehen
> habe?!
Substituiere hier [mm]x=\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(u\right)[/mm]
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 17.09.2009 | | Autor: | Sacha |
Gut wenn ich das mache erhalte ich
[mm] [\bruch{1}{2}cos(u)^{2}]
[/mm]
Nun die eigentliche Aufgabe ist, die Wurzel [mm] \wurzel{1-x^{2}-y{2}} [/mm] über den Träger
[mm] supp(f)={(x_{1},x_{2})\in \IR^{2}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<1}
[/mm]
zu integrieren. Kann ich nun einfach [mm] \wurzel{1-y^{2}} [/mm] und [mm] -\wurzel{1-y^{2}} [/mm] als Grenzen in des Integrales von [mm] \bruch{1}{2}cos(u)^{2} [/mm] setzen oder wie muss ich das ganze berechnen?
Zudem frage ich mich wieso du sin(u) als substitution wählst?
Danke dir!
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Hallo Sacha,
> Gut wenn ich das mache erhalte ich
> [mm][\bruch{1}{2}cos(u)^{2}][/mm]
Woher kommt der Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ?
>
> Nun die eigentliche Aufgabe ist, die Wurzel
> [mm]\wurzel{1-x^{2}-y{2}}[/mm] über den Träger
> [mm]supp(f)={(x_{1},x_{2})\in \IR^{2}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<1}[/mm]
>
> zu integrieren. Kann ich nun einfach [mm]\wurzel{1-y^{2}}[/mm] und
> [mm]-\wurzel{1-y^{2}}[/mm] als Grenzen in des Integrales von
> [mm]\bruch{1}{2}cos(u)^{2}[/mm] setzen oder wie muss ich das ganze
> berechnen?
Mit der Substitution ändern sich auch die Grenzen:
[mm]\wurzel{1-y^{2}}=\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(u_{2}\right) \Rightarrow u_{2}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
[mm]-\wurzel{1-y^{2}}=\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(u_{1}\right) \Rightarrow u_{1}=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> Zudem frage ich mich wieso du sin(u) als substitution
> wählst?
Hmm, Macht der Gewohnheit.
Natürlich kann man hier auch die Substitution
[mm]x=\wurzel{1-y^{2}}*\cos\left(u\right)[/mm]
wählen.
> Danke dir!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Do 17.09.2009 | | Autor: | Sacha |
Ich habe einen Fehler gemacht, denn wenn man die Substition vornimmt bleibt am Schluss nur noch das Integral von Cos(u). Wenn man da nun die Grenzen einsetzt ergibt das ein Resultat, das nicht dem errechnetem entspricht. Eigentlich sollte das Integral [mm] \bruch{2 Pi}{3} [/mm] ergeben oder irre ich mich da?
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Hallo Sacha,
> Ich habe einen Fehler gemacht, denn wenn man die Substition
> vornimmt bleibt am Schluss nur noch das Integral von
> Cos(u). Wenn man da nun die Grenzen einsetzt ergibt das ein
> Resultat, das nicht dem errechnetem entspricht. Eigentlich
> sollte das Integral [mm]\bruch{2 Pi}{3}[/mm] ergeben oder irre ich
> mich da?
Allem Anschein ist dann das Doppelintegral
[mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-y^{2}}}^{\wurzel{1-y^{2}}} \wurzel{1-x^{2}-y^{2}} \ dx} \ dy}[/mm]
berechnet worden.
Poste doch mal Deine Rechenschritte, wie Du zu dem Integral
[mm]\integral_{}^{}{\cos\left(u\right) \ du}[/mm]
kommst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 17.09.2009 | | Autor: | Sacha |
Ich mache zu viel fehler ^^ Habe schon wieder ein paar gefunden :P
Das heisst so viel wie, dass meine Rechenschritte doch falsch sind! Wenn man ja den Graph aufzeichnen lässt sieht man schnell, dass das Integral etwas zwischen 2 und 4 ergeben muss. Ich habe nun am Ende 4 bekommen, was eigentlich nicht stimmen könnte. Also vl verstehe ich ja was bei der Substitution falsch doch wenn man die Substitution vornimmt erhält man folgendes Integral?
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1-(1-y^{2})sin(u)^{2}-y^{2}} \wurzel{1-y^{2}}cos(u) du} dy}
[/mm]
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Hallo Sacha,
> Ich mache zu viel fehler ^^ Habe schon wieder ein paar
> gefunden :P
> Das heisst so viel wie, dass meine Rechenschritte doch
> falsch sind! Wenn man ja den Graph aufzeichnen lässt sieht
> man schnell, dass das Integral etwas zwischen 2 und 4
> ergeben muss. Ich habe nun am Ende 4 bekommen, was
> eigentlich nicht stimmen könnte. Also vl verstehe ich ja
> was bei der Substitution falsch doch wenn man die
> Substitution vornimmt erhält man folgendes Integral?
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1-(1-y^{2})sin(u)^{2}-y^{2}} \wurzel{1-y^{2}}cos(u) du} dy}[/mm]
Die erste Wurzel kannst Du auch anderst schreiben:
[mm]\wurzel{1-(1-y^{2})sin(u)^{2}-y^{2}}=\wurzel{\left(1-y^{2}\right)-(1-y^{2})sin(u)^{2}}}=\wurzel{1-y^{2}}*\wurzel{1-sin(u)^{2}}[/mm]
Da [mm]1-\sin^{2}\left(u\right)=\cos^{2}\left(u\right)[/mm] gilt
[mm]\wurzel{1-y^{2}}*\wurzel{1-sin(u)^{2}}=\wurzel{1-y^{2}}*}\cos\left(u)[/mm]
Damit wird obiges Integral zu
[mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1-y^{2}}*}\cos\left(u) \wurzel{1-y^{2}}cos(u) du} \ dy}[/mm]
[mm]=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\left(1-y^{2}\right)*\cos^{2}\left(u) \ du} \ dy}[/mm]
Dieses Integral ist jetzt auszuwerten.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Do 17.09.2009 | | Autor: | Sacha |
Ah stimmt diese doofe Wurzel kann man bequem umschreiben! Hei danke dir wirklich für deine Hilfe; hast wirklich MathPower ;)
Auf bald!
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