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Hi,
es geht um das Integral
[mm] \integral_{0}^{2\Pi}{sin(nx)*sin(mx) dx} [/mm] für n,m [mm] \in\IZ
[/mm]
Da ich mit "normalen" Integrationsversuchen nicht weiter kam, hab ich mir überlegt, einfach die entsprechenden Potenzreihen einzusetzen, die man ja innerhalb des Konvergenzradius punktweise integrieren kann.
Also [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{nx^{2k+1}}{(2k+1)!}* \bruch{mx^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{nmx^{2k+1}}{(2k+1)!^{2}}
[/mm]
Und das dann eben zu integrieren.
Ist das möglich oder geht das total in die falsche Richtung?
(Bevor ich mich damit ewig in eine Sackgasse rechne *g*)
thx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 So 24.04.2005 | | Autor: | Soldi01 |
versuch es dochmal damit:
[mm] \sin x_{1}*\sin x_{2}=\bruch{1}{2}*(\cos (x_{1}-x_{2}) - \cos (x_{1}+x_{2}))[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 So 24.04.2005 | | Autor: | Soldi01 |
also wenn [mm] n,m \in \IN [/mm] sind dann ist das Ergebnis 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Soldi01 |
sorry es muss nicht [mm] n,m \in \IN[/mm] heißen sondern natürlich [mm] n,m \in \IZ[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Micha |
Das gilt aber nur für m ungleich n!
Das liegt wie schon gesagt an der orthogonalitätseigenschaft!
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 So 24.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi,
> es geht um das Integral
> [mm]\integral_{0}^{2\Pi}{sin(nx)*sin(mx) dx}[/mm] für n,m [mm]\in\IZ[/mm]
>
Für dieses Integral gilt:
[mm]\integral_{0}^{2\Pi}{sin(nx)*sin(mx) dx} = \delta_{m,n}[/mm] für n,m [mm]\in\IZ[/mm]
Hierbei bezeichnet [mm] $\delta_{m,n}$ [/mm] das Kronecker-Symbol und bedeutet der Ausdruck ist 1, wenn $m=n$ gilt und 0 sonst. Das liegt daran, dass [mm]\sin(mx)[/mm] und [mm] $\sin(nx)$ [/mm] zueinander orthogonal sind in [mm] $L([0,2\pi])$.
[/mm]
Wenn dir das nicht viel weiterhilft, schau vielleicht unter klassichen Fourierreihen in deinem Skript oder im Netz!
Gruß Micha 
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Hallo steelscout,
die Lösung hast Du ja schon von Micha bekommen. Aber da Du mit normalem Integrieren nicht weiterkommst, möchte ich Dich ein wenig in Richtung partielles Integrieren stupsen.
Doch zunächst zu Deinem PR-Ansatz:
überleg Dir mal, dass im allgemeinen schon [mm](a_0 + a_1 x)\,\cdot\,(b_0 + b_1 x)\not=a_0 b_0 + a_1 b_1 x[/mm] ist (wenn Du schon summandenweise multiplizierst, warum hast Du dann nicht auch die Potenzen von x miteinander multipliziert?). Wieviel weiter man für gewöhnlich bei unendlichen Reihen daneben liegt, kannst Du Dir dann sicher vorstellen. In diesem Fall hat Deine vorgeschlagene Produktsumme den Wert [mm]\bruch{m \cdot n}{2}\left(I_0(2\wurzel{x})-J_0(2\wurzel{x})\right)[/mm], wobei [mm] $I_0$ [/mm] und [mm] $J_0$ [/mm] sog. ![[]](/images/popup.gif) Besselfunktionen sind.
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Ich taufe Dein Integral der Einfachheit halber mal auf den Namen $f(m,n)$.
Wenn Du das Integral zwomal partiell integrierst (jeweils die trigonometrische Funktion von [mm] $n\cdotx$ [/mm] ableiten), erhältst Du:
[mm] $f(m,n)=\bruch{n^2}{m^2}\,f(m,n)$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow\quad m=\pm n\not=0\,\vee\,f(m,n)=0$.
[/mm]
Und den Fall [mm] m=\pm [/mm] n, also [mm] $\pm \integral_{0}^{2\pi}{sin(m x)^2}dx$ [/mm] packst Du auch mit normaler Integration
Viel Spaß beim Tüfteln,
Peter
P.S.: wirklich nur der Vollständigkeit halber: die Fälle [mm] $n=0\,\vee\,m=0$ [/mm] bedürfen sicherlich einer ganz besonderen Prüfung (speziell $n=m=0$) ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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