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Hay Leute,
habe mal eine Frage und zwar wie wird diese Funktion integriert:
[mm] f(x)=x*\wurzel{1+x}
[/mm]
Ich komme da echt nicht weiter...
Muss man die partielle Integration benutzen oder die Substitution? Alle meine Ergebnisse waren bisher falsch -.-
Bitte helft mir mal und integriert die Formel einmal für mich mit all den Zwischenschritten, damit ich das nachvollziehen kann. Wäre echt toll wenn mir einer weiter helfen würde! Bitte sagt mir jetzt nicht nur was die Stammfunktion davon ist sondern erklärt mir bitte wie man darauf kommt und was man machen muss!
Mfg
marvin8xxl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Di 23.02.2010 | | Autor: | anarion |
Hi,
also, ich bin selbst nicht der Integrierprofi, aber zum Denkanstoß könnt's vielleicht reichen.
Dein Integral ist ein öfter vorkommendes Schema: [mm] \integral_{}^{}{f(x;\wurzel{x^2+a^2}) dx}. [/mm] Laut meinem Wissen, müsste man nun mit x=a*sinh(u) substituieren.Dx wäre dx=a*cosh(u)du und die Wurzel [mm] \wurzel{x^2+a^2}=a*cosh(u). [/mm] Das wäre die Theorie dazu. Wie man dann das alles ausrechnet und anwendet, hab ich zwar auch schon öfter probiert, aber noch nie geschafft. Vielleicht kannst du ja ein wenig daraus Profit schlagen und etwas damit anfangen. Wenn ja, schreib's bitte hier rein.
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Hallo marvin8XXL,
> Hay Leute,
> habe mal eine Frage und zwar wie wird diese Funktion
> integriert:
>
> [mm]f(x)=x*\wurzel{1+x}[/mm]
>
> Ich komme da echt nicht weiter...
> Muss man die partielle Integration benutzen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") oder die
> Substitution?
Ich sehe nicht, welche Substitution da klappen sollte ...
> Alle meine Ergebnisse waren bisher falsch
Dann solltest du zumindest einen Versuch davon herzeigen ...
> -.-
> Bitte helft mir mal und integriert die Formel einmal für
> mich mit all den Zwischenschritten, damit ich das
> nachvollziehen kann. Wäre echt toll wenn mir einer weiter
> helfen würde! Bitte sagt mir jetzt nicht nur was die
> Stammfunktion davon ist sondern erklärt mir bitte wie man
> darauf kommt und was man machen muss!
Ich werde es dir nicht vorrechnen, aber dir soweit einen Anfang geben, dass du es allein rechnen kannst.
Es ist im Endeffekt nicht schwierig, nur etwas Gewurschtel mit den Potenzen ...
Schreibe zunächst die Wurzel um als Potenz
[mm] $\int{x\cdot{}\sqrt{x+1} \ dx}=\int{x\cdot{}(x+1)^{\frac{1}{2}} \ dx}$
[/mm]
Nun erinnere dich an die Potenzregel für das Integrieren:
[mm] $\int{z^n \ dz}=\frac{1}{z+1}\cdot{}z^{n+1}$ [/mm] für alle reellen [mm] $n\neq [/mm] -1$
Das ist das eizige, was du hier wirklich benötigst, um die partielle Integration durchzuführen
Setze dazu $u(x)=x$ und [mm] $v'(x)=(x+1)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
Dann ist gem. partieller Integration [mm] $\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}=u(x)\cdot{}v(x)-\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}$
[/mm]
Das schöne ist, dass $u'(x)=1$ ist, das hintere Integral also sehr leicht zu berechnen sein wird.
Nutze die Potenzregel oben ...
Jetzt bist du dran!
> LG
> marvin8xxl
Gruß
schachuzipus
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Sorry aber ich bin immer noch keinen schritt weiter als zuvor. Hier ist einer meiner Rechenwege, sagt mir was daran falsch ist, vielleicht bringt mich das ja weiter...
[mm] f(x)=x*\wurzel{1+x}
[/mm]
[mm] =x*(1+x)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
-> So... was ich jetzt gemacht habe ist, dass ich festgelegt habe, dass
u(x)=x und v'(x)=1+x also [mm] v(x)=x+\bruch{1}{2}*x^{2} [/mm]
ist.
Ich will nämlich die Produktintegrationsregel anwenden. So steht sie in unserem Buch:
[mm] \integral_{}^{}{u(x)*v'(x) dx}=[u(x)*v(x)]-\integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx}
[/mm]
Wenn ich das dann so mache sieht mein Rechenweg wie folgt aus:
[mm] \integral_{}^{}{x*(1+x)^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
= [mm] [x*(x+\bruch{1}{2}*x^{2})]+\integral_{}^{}{x+\bruch{1}{2}*x^{2} dx}
[/mm]
[mm] =[x*(x+\bruch{1}{2}*x^{2})]+[\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{1}{6}*x^{3}]
[/mm]
[mm] =x*(x+\bruch{1}{2}*x^{2})+\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{1}{6}*x^{3}
[/mm]
[mm] =x^{2}+\bruch{1}{2}*x^{3}+\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{1}{6}*x^{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2}*x^{2}+\bruch{4}{6}*x^{3}
[/mm]
[mm] =x^{2}*(\bruch{3}{2}+\bruch{4}{6}*x)
[/mm]
Und das ist wie alle meine Ergebnisse bisher falsch weil davon die Ableitung nicht
[mm] x*\wurzel{1+x}
[/mm]
ist.
Bitte erklärt mir was daran falsch ist, ich habe echt absolut keine Ahnung davon
Mfg
marvin8xxl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Di 23.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sorry aber ich bin immer noch keinen schritt weiter als
> zuvor. Hier ist einer meiner Rechenwege, sagt mir was daran
> falsch ist, vielleicht bringt mich das ja weiter...
>
> [mm]f(x)=x*\wurzel{1+x}[/mm]
> [mm]=x*(1+x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> -> So... was ich jetzt gemacht habe ist, dass ich
> festgelegt habe, dass
> u(x)=x und v'(x)=1+x also [mm]v(x)=x+\bruch{1}{2}*x^{2}[/mm]
Was soll denn das : v'(x)=1+x ??
Warum machst Du nicht das, was schachuzipus Dir geraten hat: "Setze dazu $ u(x)=x $ und $ [mm] v'(x)=(x+1)^{\frac{1}{2}} [/mm] $ "
FRED
> ist.
> Ich will nämlich die Produktintegrationsregel anwenden.
> So steht sie in unserem Buch:
> [mm]\integral_{}^{}{u(x)*v'(x) dx}=[u(x)*v(x)]-\integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx}[/mm]
>
> Wenn ich das dann so mache sieht mein Rechenweg wie folgt
> aus:
>
> [mm]\integral_{}^{}{x*(1+x)^{\bruch{1}{2}} dx}[/mm]
> =
> [mm][x*(x+\bruch{1}{2}*x^{2})]+\integral_{}^{}{x+\bruch{1}{2}*x^{2} dx}[/mm]
>
> [mm]=[x*(x+\bruch{1}{2}*x^{2})]+[\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{1}{6}*x^{3}][/mm]
>
> [mm]=x*(x+\bruch{1}{2}*x^{2})+\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{1}{6}*x^{3}[/mm]
>
> [mm]=x^{2}+\bruch{1}{2}*x^{3}+\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{1}{6}*x^{3}[/mm]
> [mm]=\bruch{3}{2}*x^{2}+\bruch{4}{6}*x^{3}[/mm]
> [mm]=x^{2}*(\bruch{3}{2}+\bruch{4}{6}*x)[/mm]
>
> Und das ist wie alle meine Ergebnisse bisher falsch weil
> davon die Ableitung nicht
> [mm]x*\wurzel{1+x}[/mm]
> ist.
> Bitte erklärt mir was daran falsch ist, ich habe echt
> absolut keine Ahnung davon
> Mfg
> marvin8xxl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Sa 27.02.2010 | | Autor: | marvin8xxl |
Danke, habe es verstanden ;)
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