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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Di 01.02.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mittels Partialbruchzerlegung:
[mm] \integral{\bruch{2^2+3}{(x^2+1)^2}dx} [/mm] |
Guten Tag Matheraum!
ich sitz hier wieder an einem Integral...
Hab es eigentlich ganz weit geschafft nur bin am Ende irgwndwie nicht weiter gekommen. Hier mein Ansatz:
[mm] \bruch{2^2+3}{(x^2+1)^2}=\bruch{Ax+B}{x^2+1}+\bruch{Cx+D}{(x^2+1)^2}
[/mm]
Hieraus folgt: A=0 B=2 C=0 D=1 und auch: [mm] \bruch{2}{x^2+1}+\bruch{1}{(x^2+1)^2}
[/mm]
So hier ist es schon fast vorbei:
[mm] \integral{ \bruch{2}{x^2+1}+\bruch{1}{(x^2+1)^2}dx}
[/mm]
Jetzt trenn ich die beiden Brüche: [mm] \integral{ \bruch{2}{x^2+1}dx}+\integral{\bruch{1}{(x^2+1)^2}dx}
[/mm]
Jetzt integriere ich [mm] \integral{\bruch{2}{x^2+1}dx}=2arctan(x)
[/mm]
Aber beim integrieren von dem zweiten Bruch komme ich irgendwie nicht weiter... Ich könnte wetten da kommt auch was mit einem Bruch und arctan(x) raus, aber wie komme ich dahinter.
Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie mittels Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\integral{\bruch{2^2+3}{(x^2+1)^2}dx}[/mm]
> Guten Tag Matheraum!
>
> ich sitz hier wieder an einem Integral...
>
> Hab es eigentlich ganz weit geschafft nur bin am Ende
> irgwndwie nicht weiter gekommen. Hier mein Ansatz:
>
> [mm]\bruch{2^2+3}{(x^2+1)^2}=\bruch{Ax+B}{x^2+1}+\bruch{Cx+D}{(x^2+1)^2}[/mm]
>
> Hieraus folgt: A=0 B=2 C=0 D=1 und auch:
Das stimmt nur, wenn [mm] \bruch{2^2+3}{(x^2+1)^2} [/mm] eigentlich [mm] \bruch{2x^2+3}{(x^2+1)^2} [/mm] heißen soll.
> [mm]\bruch{2}{x^2+1}+\bruch{1}{(x^2+1)^2}[/mm]
>
> So hier ist es schon fast vorbei:
>
> [mm]\integral{ \bruch{2}{x^2+1}+\bruch{1}{(x^2+1)^2}dx}[/mm]
>
> Jetzt trenn ich die beiden Brüche: [mm]\integral{ \bruch{2}{x^2+1}dx}+\integral{\bruch{1}{(x^2+1)^2}dx}[/mm]
>
> Jetzt integriere ich
> [mm]\integral{\bruch{2}{x^2+1}dx}=2arctan(x)[/mm]
>
> Aber beim integrieren von dem zweiten Bruch komme ich
> irgendwie nicht weiter... Ich könnte wetten da kommt auch
> was mit einem Bruch und arctan(x) raus, aber wie komme ich
> dahinter.
Da gibts die schöne Rekursion
$ [mm] \int\frac{1}{(x^2+1)^n}\, \mathrm [/mm] d x = [mm] \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}} [/mm] + [mm] \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\, \mathrm [/mm] d [mm] x,\quad n\geq [/mm] 2 $
Wie kann man die wohl beweisen ?
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
>
> Ilya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Di 01.02.2011 | | Autor: | Random |
Danke Fred!
Beweisen werde ich die wohl nicht...
Aber mit der Formel hab ich die Lösung: [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{x}{x^2+1}+\bruch{5}{2}arctan(x)
[/mm]
MfG
Ilya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred!
>
> Beweisen werde ich die wohl nicht...
Das ist nicht schwer: Induktion !
Den Induktionsanfang (n=2) bekommst Du, indem Du dei rechte Seite von
$ [mm] \int\frac{1}{(x^2+1)^2}\, \mathrm [/mm] d x = [mm] \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{1}} [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \cdot \int\frac{1}{(x^2+1)^{1}}\, \mathrm [/mm] d [mm] x,\quad [/mm] $
differenzierst und zeigst, dass [mm] \frac{1}{(x^2+1)^2} [/mm] rauskommt.
Der Induktionschritt gelingt mit partieller Integration.
FRED
>
> Aber mit der Formel hab ich die Lösung:
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{x}{x^2+1}+\bruch{5}{2}arctan(x)[/mm]
>
> MfG
>
> Ilya
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