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Forum "Integrieren und Differenzieren" - Integration - Kettenregel
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Integration - Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mi 02.05.2012
Autor: MartinNeumann

Aufgabe
Das Integral [mm] \int (4x^2+3x)^5 {\mathrm{d} x} [/mm] ist zu lösen.

Hey,

wie löse ich das Integral ohne jetzt die Klammer ^5 nehmen zu müssen und erst dann weiter zu rechnen?

Mein Ansatz:

[mm] \frac{1}{6}(4x^2+3x)^6\frac{1}{8x+3} [/mm]

Ich hab in einem Onlinevideo gesehen, dass es so eine Art Kettenregel für Integrale gibt. Die angeblich besagt, dass man die innere Klammer ableiten muss und als den Kehrwert dazu multiplizieren muss.

Nur irgendwie komme ich so nicht auf das Ergebnis.

Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. Danke schonmal!
        
Bezug
Integration - Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:26 Mi 02.05.2012
Autor: Denny22

Hallo,

> Das Integral [mm]\int (4x^2+3x)^5 {\mathrm{d} x}[/mm] ist zu
> lösen.

Okay

>  Hey,
>  
> wie löse ich das Integral ohne jetzt die Klammer ^5 nehmen
> zu müssen und erst dann weiter zu rechnen?
>  
> Mein Ansatz:
>  
> [mm]\frac{1}{6}(4x^2+3x)^6\frac{1}{8x+3}[/mm]
>  
> Ich hab in einem Onlinevideo gesehen, dass es so eine Art
> Kettenregel für Integrale gibt. Die angeblich besagt, dass
> man die innere Klammer ableiten muss und als den Kehrwert
> dazu multiplizieren muss.

Die Regel heißt []Integration durch Substitution. Deine Idee zielt sicherlich auf die  []Lineare Substitution ab, diese benötigt jedoch anstelle von [mm] $4x^2+3x$ [/mm] ein Polynom ersten Grades, d.h. der Form $mx+b$. Das hast Du jedoch nicht!

>  
> Nur irgendwie komme ich so nicht auf das Ergebnis.
>  
> Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. Danke schonmal!

Benutz doch den []Binomischen Lehrsatz:

     [mm] $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ [/mm]

mit [mm] $a=4x^2$, [/mm] $b=3x$ und $n=5$. Dann erhälst Du

    [mm] $\int \left(4x^2+3x\right)^5dx [/mm] = [mm] \int\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(4x^2)^{5-k}(3x)^k [/mm] dx= [mm] \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}4^{5-k}3^k\int x^{10-k} dx=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}4^{5-k}3^k \frac{1}{10-k+1}x^{10-k+1}$ [/mm]

Nun hast Du die Lösung. Diese lässt sich sicherlich noch einfacher darstellen, indem man die Summe ausrechnet, aber das überlasse ich Dir.

Ciaoi
Bezug
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