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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 26.01.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig mit 2 [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=1. [/mm] Zeigen Sie : c [mm] \in [/mm] (a,b) mit f(c)=c |
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen soll.
Kann man vllt den Zwischenwertsatz für Fixpunkte benutzen oder geht es nicht aufgrund des Integrals. Ich bin für jeden Tipp dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
die Aufgabe macht so keinen Sinn.
Soll da wirklich $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stehen, oder [mm] $f:[0,1]\to\IR$?
[/mm]
Steht da [mm] $\int_0^1 [/mm] f(x) dx$ oder [mm] $\int_a^b [/mm] f(x) dx$?
Momentan ist es nur munteres rumraten....
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 So 26.01.2014 | | Autor: | mimo1 |
sorry, liegt wohl an der zeit.
das heißt natürlich [mm] f:[0,1]\to \IR
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 26.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Und es heißt dann wohl auch [mm] "c\in(0,1)" [/mm] oder?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 26.01.2014 | | Autor: | mimo1 |
ja stimmt :)
Also nochmal die Aufgabe sauber aufgeschrieben:
Sei [mm] f:[0,1]\to \IR [/mm] stetig [mm] 2\integral_{0}^{1}{f(x) dx}=1. [/mm] Zeigen Sie : Es gibt ein c [mm] \in [/mm] (0,1) mit f(c)=c
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 So 26.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert ein [mm] c\in[0,1] [/mm] mit folgender Eigenschaft:
[mm] 2\integral_{0}^{1}{f(x) dx}=2*f(c)(1-0)=2f(c)
[/mm]
Jetzt du!
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 So 26.01.2014 | | Autor: | mimo1 |
vielen Dank für die schnelle Antwort. Das hilft mir schon weiter
Gruß
mimo1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 So 26.01.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich habe es mal probiert und ich bin mir nicht sicher ob ich es richtig bewiesen habe
[mm] 2\integral_{0}^{1}{f(x) dx}= [/mm] 2f(c)(1-0)
2 [mm] f\integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] setze ich gleich 1 und f(c)=c somit erhalte ich
[mm] 1=2c\*1 \Rightarrow c=\bruch{1}{2} [/mm] Ist es richtig oder liege ich total falsch?
Ich weiß dass die Bedingung in der aufgabenstellung für f(x)=x stimmt und f(x)=x in jeden punkt einen Fixpunkt besitzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> ich habe es mal probiert und ich bin mir nicht sicher ob
> ich es richtig bewiesen habe
>
> [mm]2\integral_{0}^{1}{f(x) dx}=[/mm] 2f(c)(1-0)
Das stimmt
> 2 [mm]f\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] setze ich gleich 1 und
> f(c)=c somit erhalte ich
Du kannst nicht f(c)=c "setzen", denn du sollst ja die Existenz eines c nachweisen, so dass f(c)=c erfüllt ist.
>
> [mm]1=2c\*1 \Rightarrow c=\bruch{1}{2}[/mm] Ist es richtig oder
> liege ich total falsch?
Du erhälst also 1 = 2*f(c) und somit f(c) = 0,5. Das hilft dir leider nichts.
Ein besserer Tipp:
Wende den Mittelwertsatz der Integralrechnung auf die Funktion g mit g(x) = f(x)-x an.
Gruß Sax.
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