Integration Kugelkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | Rechne zunächst in Kugelkoordinaten um und berechne anschließend das Integral.
[mm] \integral_{V}^{}{\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}}}}
[/mm]
V={(x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] | [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] =< [mm] r^2 [/mm] , 0 =<y} |
Also ich wollte das ganze zunächst in die Kugelkoordinaten überführen
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
[mm] r^2=x^2+y^2+z^2
[/mm]
# Das kann ich ja unten die Summe unter dem Bruchstrich verwenden
Phi= arccos [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
# Hier bin ich mir nicht sicher, da ich nicht weiß ob y>0 oder y<0 ist
[mm] Teta=\bruch{\pi}{2}-arctan \bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
So mein Problem ist das ich mit [mm] r^2 [/mm] den Teil unter dem Bruchstrich umschreiben kann.
Jedoch weiß ich nicht wie ich aus dem x oberhalb des Bruchs sowohl Phi als auch Teta machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Fr 06.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Besorge Dir ein Bild, in dem die Kugelkoordinaten dargestellt sind (Wikipedia). Wenn du r, phi und theta hast, dann ergibt sich daraus x. Mit theta und r bekommst du die Projektion von r auf die x-y-Ebene, mit phi davon die x-Komponente.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Coxy |
Das Problem ist doch das ich r, phi und Teta nicht habe aber raus finden muss.
Wie soll ich mir dann eine Skizze dazu anschauen?
Das geht doch bei einer Funktion die 3 Parametern nicht mehr weil es 4 Dimensional wird oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Coxy,
Kugelkoordinaten bestehen aus
- dem Radius r (als Vektor vorstellbar)
- dem Winkel [mm] \theta [/mm] zwischen z-Achse und Vektor r
- dem Winkel [mm] \phi [/mm] zwischen x-Achse und der Projektion des Vektors r auf die x,y-Ebene
Zeichne dir die Situation auf. Du wirst leicht sehen, dass man jeden Punkt (x,y,z) wie folgt darstellen kann:
[mm] x=r\cdot sin\theta\cdot cos\phi
[/mm]
[mm] y=r\cdot sin\theta\cdot sin\phi
[/mm]
[mm] z=r\cdot cos\theta
[/mm]
Wähle den Definitionsbereich der Abbildung [mm] \Phi(r,\theta,\phi)=(r\cdot sin\theta\cdot cos\phi, r\cdot sin\theta\cdot sin\phi, r\cdot cos\theta) [/mm] für deine Menge die eine Halbkugel beschreibt geeignet. Wende die Transformationsformel an.
LG Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Sa 07.06.2014 | | Autor: | chrisno |
im Nenner hast Du schon r, das gab es quasi geschenkt. Nun steht im Zähler noch ein x. Das muss weg und dafür etwas mit r, phi und theta hin. Es stimmt, für ein x gibt es mehrere Kombinationen dieser drei Parameter. Das ist egal, vorher solltest Du über alle x,y,z integrieren, nun erwischst Du das Gleiche, indem Du über alle r, phi und theta integrierst.
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