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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 So 07.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Die folgende Aufgabe ist relativ abstrakt, aber anschaulich klar.
"Sei [mm] $\delta_{\IN}$ [/mm] das Diracmaß zu den natürlichen Zahlen [mm] $\IN \subset\IR$, [/mm] sei [mm] $\IR^{\IN}$ [/mm] der Vektorraum der Folgen in [mm] $\IR$, [/mm] sei [mm] $\IR^{\IR}$ [/mm] der Vektorraum der Abbildungen $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und sei [mm] $\hat{.} [/mm] : [mm] \IR^{\IR} \to \IR^{\IN}$ [/mm] mit [mm]f \to \hat{f} := (f(n))_{n \in \IN}[/mm]."
a) Zeigen Sie, dass ^ linear ist und dass $f [mm] =_{\delta_{\IN}} [/mm] g$ genau dann gilt, wenn [mm] $\hat{f}= \hat{g}$.
[/mm]
Die habe ich schon. 
b) Zeigen Sie, dass f lebesgue-integrierbar bzgl. [mm] $\delta_{\IN}$ [/mm] genau dann gilt, wenn die Reihe [mm]\sum \hat{f} := \sum_{n=0}^{\infty} {f(n)}[/mm] absolut konvergiert, und dass dann [mm] $\integral{f \, d\delta_{\IN}} [/mm] = [mm] \sum{\hat{f}}$.
[/mm]
c) Folgern Sie das Majorantenkriterium für Reihen aus dem Satz von Lebesgue.
Für b) und c) fehlt mir noch irgendwie der entscheidende Tipp wie man das aufschreibt. Ich hätte als Ansatz evtl., dass [mm] \integral{f\,d\delta_{\IN}} = \integral{\hat{f}\, d\delta_{\IN}}[/mm] weil diese [mm] $\delta_{\IN}$-gleich [/mm] sind. Vielleicht muss man aber auch anders folgern wegen Teil a).
Kann mir jemand da helfen? Danke schonmal im Voraus. 
Gruß Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Di 09.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
> "Sei [mm]\delta_{\IN}[/mm] das Diracmaß zu den natürlichen Zahlen
> [mm]\IN \subset\IR[/mm], sei [mm]\IR^{\IN}[/mm] der Vektorraum der Folgen in
> [mm]\IR[/mm], sei [mm]\IR^{\IR}[/mm] der Vektorraum der Abbildungen [mm]f : \IR \to \IR[/mm]
> und sei [mm]\hat{.} : \IR^{\IR} \to \IR^{\IN}[/mm] mit [mm]f \to \hat{f} := (f(n))_{n \in \IN}[/mm]."
>
>
> a) Zeigen Sie, dass ^ linear ist und dass [mm]f =_{\delta_{\IN}} g[/mm]
> genau dann gilt, wenn [mm]\hat{f}= \hat{g}[/mm].
>
> Die habe ich schon.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Zeigen Sie, dass f lebesgue-integrierbar bzgl.
> [mm]\delta_{\IN}[/mm] genau dann gilt, wenn die Reihe [mm]\sum \hat{f} := \sum_{n=0}^{\infty} {f(n)}[/mm]
> absolut konvergiert, und dass dann [mm]\integral{f \, d\delta_{\IN}} = \sum{\hat{f}}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Wir betrachten die beiden Funktionen $f$ und (bei euch scheint die $0$ zu den natürlichen Zahlen dazu zu gehören):
$g(x):= \sum\limits_{n=0}^{\infty} f(n) \cdot 1_{\{n\}}(x)$.
Dann gilt offenbar:
$f =_{\delta_{\IN}} g$ sowie
$\vert f \vert =_{\delta_{\IN}} \hat{g}$
mit
$\hat{g}(x):= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \vert f(n) \vert \cdot 1_{\{n\}}(x)$
und daher nach Aufgabenteil a) und dem Satz von der monotonen Konvergenz:
$\int |f(x)|\, \delta_{\IN}(dx)$
$\stackrel{(a)}{=} \int \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left \vert f(n) \right\vert \cdot 1_{\{n\}}(x) \, \delta_{\IN}(dx)$
$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \int \left \vert f(n) \right\vert \cdot 1_{\{n\}}(x) \, \delta_{\IN}(dx)$
(Satz von der monotonen Konvergenz)
$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \vert f(n) \vert$.
Daraus folgt der erste Teil der Behauptung. Im Falle der Integrierbarkeit von $f$ zerlege $f$ in $f=f^+ - f^-$, führe die gleiche Rechnung noch einmal für $f^+$ und $f^-$ aus und füge anschließend beides zusammen.
Liebe Grüße
Stefan
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