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Forum "Integrationstheorie" - Integration Normalverteilung
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Integration Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Sa 29.11.2014
Autor: Alex1993

Huhu,
um zu zeigen, dass die Normalverteilung ein W-Maß definiert haben wir gezeigt, dass das Integral =1 ist. Was zu zeigen ist verstehe ich. Allerdings scheitere ich an dem Lösungsweg bzw. der Substitution.
Es gilt das Integral zu berechnen:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\wurzel{2*\pi*\sigma^{2}}}*e^{\frac{-(x-y)^2}{2\sigma^{2}}} dx} [/mm]
dann haben wir mit [mm] u=\frac{x-y}{\sigma} [/mm] substituiert:
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\wurzel{2*\pi*\sigma^{2}}}*e^{\frac{-u^2}{2}} * \sigma du} [/mm]
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\wurzel{2*\pi*}}*e^{\frac{-u^2}{2}} du} [/mm]
soweit so gut, das verstehe ich. allerdings steht im nächsten Schritt einfach nur:
[mm] =\wurzel{\frac{1}{2*\pi}}*\wurzel{2*\pi} [/mm]
jetzt frage ich mich wie zur Hölle man das bitte erhält :-P
Hat einer von euch eine Idee?

LG

        
Bezug
Integration Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Sa 29.11.2014
Autor: hanspeter.schmid

Sowas weiss man einfach auswendig ;)

Spass beiseite: Dieses Integral ist nicht einfach zu bestimmen. Mehrere Wege sind auf []Gaussian Integral (Wikipedia) beschrieben.

Gruss,
Hanspeter



Bezug
        
Bezug
Integration Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Sa 29.11.2014
Autor: DieAcht

Hallo Alex,


O.B.d.A. setzen wir [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \sigma=1 [/mm] (Wieso dürfen wir das?).
Ich empfehle nun folgendes zu zeigen:

      [mm] \left(\int_{\IR}e^{-t^2/2}dt\right)^2=2\pi. [/mm]

Schreibe dazu das Quadrat der Integrale als ein zweidimensionales
Integral über

      [mm] x=(x_1,x_2)\in\IR^2 [/mm]

und gehe über zu Polarkoordinanten.

(Beachte: [mm] x_1^2+x_2^2=\|x\|_2^2.) [/mm]


Gruß
DieAcht

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