Integration Partialbruchzerleg < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Do 10.04.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Berechnen sie unter Verwendung geeigneter Integrationsmethoden die unbestimmten Integrale:
b) [mm] \integral{\bruch{x+2}{x^3-2*x^2+x}dx}
[/mm]
c) [mm] \integral{\bruch{dx}{(x-16)*\wurzel{x}}}
[/mm]
a) und d) habe ich |
Hallo,
diese 4 Integrale gehören zu einer Aufgabe und bei den beiden die ich hinbekommen habe war es mit Partialbruchzerlegung zu mach (bei einem auch in Kombination mit Substitution). Bei b) und c) komme ich nicht weiter:
Bei b) habe ich das auch mit Partialbruchzerlegung versucht und erstmal ein x ausgeklammert. Die quadratische Gleichung die im Nenner in der Klammer übrig bleibt hat dann eine Doppelnullstelle bei 1. Hier fangen meine Probleme an: Wir haben in der Übung zu dem Thema nur ein Beispiel gemacht bei dem blieb auch was Quadratisches in der Klammer, dass hatte keine Nullstellen und wir haben dann mit dem quadratischen Ausdruck als Faktor weiter gemacht. Das geht hier erstmal auch. Ich bekomme dann für A=2, B=-2 und C=5 raus. Leider kann ich dann trotzdem nicht die Stammfunktion von [mm] \bruch{-2*x+5}{x^2-2*x+1} [/mm] bilden.
Meine andere Idee war es [mm] x^2-2*x+1=(x-1)*(x-1) [/mm] zu zerlegen, dann bekomme ich für A=2, aber nichts für B und C raus (was ja irgendwie klar ist). Kann mir da jemand weiterhelfen?
Bei c) hatte ich noch keine brauchbaren Ideen und alles was ich versucht habe, hat ins Leere geführt. Es wäre nett, wenn mir jemand mal einen Anstoß geben könnte.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anne,
> Berechnen sie unter Verwendung geeigneter
> Integrationsmethoden die unbestimmten Integrale:
>
> b) [mm]\integral{\bruch{x+2}{x^3-2*x^2+x}dx}[/mm]
> c) [mm]\integral{\bruch{dx}{(x-16)*\wurzel{x}}}[/mm]
>
> a) und d) habe ich
> Hallo,
>
> diese 4 Integrale gehören zu einer Aufgabe und bei den
> beiden die ich hinbekommen habe war es mit
> Partialbruchzerlegung zu mach (bei einem auch in
> Kombination mit Substitution). Bei b) und c) komme ich
> nicht weiter:
>
> Bei b) habe ich das auch mit Partialbruchzerlegung versucht
> und erstmal ein x ausgeklammert.
Ich hoffe, Du hast es nicht "vor das Integral" gezogen, sondern Du machst das, um dann partielle Integration anzuwenden. Denn wenn Du das machst, ist der Integrand ein Produkt der Funktionen
[mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] und [mm] $g(x)=\bruch{x+2}{x^2-2*x+1}$
[/mm]
> Die quadratische Gleichung
> die im Nenner in der Klammer übrig bleibt hat dann eine
> Doppelnullstelle bei 1. Hier fangen meine Probleme an: Wir
> haben in der Übung zu dem Thema nur ein Beispiel gemacht
> bei dem blieb auch was Quadratisches in der Klammer, dass
> hatte keine Nullstellen und wir haben dann mit dem
> quadratischen Ausdruck als Faktor weiter gemacht. Das geht
> hier erstmal auch. Ich bekomme dann für A=2, B=-2 und C=5
> raus. Leider kann ich dann trotzdem nicht die Stammfunktion
> von [mm]\bruch{-2*x+5}{x^2-2*x+1}[/mm] bilden.
Vornerweg: Ich habe nichts nachgerechnet. D.h. ich gehe hier mal davon aus, dass Du daran scheiterst
[mm] $\int \bruch{-2*x+5}{x^2-2*x+1}dx$
[/mm]
zu berechnen. Im Zähler steht aber "im Wesentlichen" die Ableitung des Nenners (Du könntest mal ein $-$ rausziehen und dann $-5=-2-3)$ benutzen, dann siehst Du es vll. noch besser). Daher liegt es hier eigentlich nahe:
[mm] $y=y(x):=x^2-2x+1$ [/mm] zu setzen (es ginge auch z.B. [mm] $y=x^2-2x$). [/mm] Dann gilt unter Beachtung von $dy=(2x-2)dx$:
[mm] $\int \bruch{-2*x+5}{x^2-2*x+1}dx=-\int \frac{2x-5}{x^2-2x+1}dx=-\int \frac{2x-2}{x^2-2x+1}dx-3\int \frac{1}{x^2-2x+1}dx$
[/mm]
[mm] $=-\int \frac{1}{y}dy-3\int \frac{1}{(x-1)^2}dx$
[/mm]
Um das erste Integral zu berechnen, musst Du halt wissen, dass [mm] $\ln\,'(x)=\frac{1}{x}$. [/mm] Benutze das, und vergesse nicht, $y$ wieder zu ersubstituieren.
Zu dem zweiten Integral:
Eigentlich kann man sofort sehen, dass für $x [mm] \mapsto \frac{1}{(x-1)^2}$ [/mm] die Funktion $x [mm] \mapsto \frac{-1}{(x-1)}$ [/mm] eine Stammfunktion ist (man leite die letzte einfach ab). Da Du dies aber vll. nicht siehst:
Um [mm] $\int \frac{1}{(x-1)^2}dx$ [/mm] zu berechnen:
Substituiere einfach mal $z=z(x):=x-1$, dann geht [mm] $\int \frac{1}{(x-1)^2}dx$ [/mm] über in
[mm] $\int \frac{1}{z^2}dz=\int z^{-2}dz$
[/mm]
Für $z [mm] \mapsto z^{-2}$ [/mm] kennst Du sicher eine Stammfunktion. Dann Resubstituion nicht vergessen.
> Bei c) hatte ich noch keine brauchbaren Ideen und alles was
> ich versucht habe, hat ins Leere geführt. Es wäre nett,
> wenn mir jemand mal einen Anstoß geben könnte.
Probiere es mal mit der Substitution
[mm] $z:=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$
[/mm]
Dann sollte das Integral übergehen zu
[mm] $\int \frac{2}{z^2-16}dz$
[/mm]
Nun kannst Du mittels Partialbruchzerlegung oder durch Verfolgen meiner Rechnung sehen:
[mm] $\frac{2}{z^2-16}=\frac{2}{(z+4)(z-4)}=\frac{8}{4}*\frac{1}{(z+4)(z-4)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}\frac{(z+4)-(z-4)}{(z+4)(z-4)}=\frac{1}{4}*\left(\frac{1}{z-4}-\frac{1}{z+4}\right)$
[/mm]
Damit:
[mm] $\int \frac{2}{z^2-16}dz=\frac{1}{4}*\int \frac{1}{z-4}dz-\frac{1}{4}*\int \frac{1}{z+4}dz$
[/mm]
Noch eine Idee für den letzten Schritt?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 10.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Im letzten Schritt einfach die Stammfunktion mit dem Logarithmus bilden:
[mm] \bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{z-4}dz}-\bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{z+4}dz}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}*ln|z-4|-\bruch{1}{4}*ln|z+4|+C
[/mm]
Dann noch Rücksubstituieren und fertig, oder?
Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das hat mir wirklich viel weiter geholfen!
Lg Anne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anne,
> Im letzten Schritt einfach die Stammfunktion mit dem
> Logarithmus bilden:
>
> [mm]\bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{z-4}dz}-\bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{z+4}dz}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}*ln|z-4|-\bruch{1}{4}*ln|z+4|+C[/mm]
>
> Dann noch Rücksubstituieren und fertig, oder?
genau so ist es. Sehr schön 
(P.S.: Du hast natürlich recht, dass man auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] sagen kann, dass $x [mm] \mapsto \ln|x|$ [/mm] eine Stammfunktion für $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] ist. Aber im Prinzip reicht es zu wissen, dass $x [mm] \mapsto \ln(x)$ [/mm] auf [mm] $]0,\infty[$ [/mm] eine Stammfunktion für $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] ist, das mit dem [mm] $\ln|x|$ [/mm] folgt dann z.B. aus Symmetriegründen (Punktsymmetrie zum Ursprung). Aber gut, dass Du dran gedacht hast, [mm] $\ln|x|$ [/mm] zu nehmen .)
Gruß,
Marcel
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