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| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Integral mit Substitution und partieller Integration:
[mm] \integral_{-N}^{N} \sqrt{1-x^2}\, dx [/mm]
Tipp: x= sin(u) [mm] sin^2(u)+cos^2(u)=1 [/mm] |
Also ich weiß wie man es rechnet und auch was das Ergebnis ist. Nur einen Schritt versteh ich nicht ganz.
Substitution:
[mm] x= sin(u) [/mm]
[mm] \bruch{dx}{dz}=cos x [/mm]
Und genau hier ist mein Problem. Bei einer "normalen" Substitution leitet man doch dz nach dx ab. Also steht dz im Zähler und dx im Nenner. Aber hier sit es genau anderst herum. Warum?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Lösen Sie folgendes Integral mit Substitution und
> partieller Integration:
>
> [mm]\integral_{-N}^{N} \sqrt{1-x^2}\, dx[/mm]
>
> Tipp: x= sin(u) [mm]sin^2(u)+cos^2(u)=1[/mm]
> Also ich weiß wie man es rechnet und auch was das
> Ergebnis ist. Nur einen Schritt versteh ich nicht ganz.
>
> Substitution:
>
> [mm]x= sin(u)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dx}{dz}=cos x[/mm]
Das ist falsch!
Hier gilt:
[mm] x=\sin(u)
[/mm]
Im Grunde steht dort:
[mm] x(u)=\sin(u)
[/mm]
Weiterhin gilt:
[mm] x'=x'(u)=\frac{dx(u)}{du}=\frac{dx}{du}=\frac{d}{du}x
[/mm]
Mit anderen Worten: Du leitest die Funktion $x$ nach $u$ ab.
Übrigens: Für [mm] x=\sin(u) [/mm] gilt [mm] \bruch{dx}{dz}=0 [/mm] - Warum?
> Und genau hier ist mein Problem. Bei einer "normalen"
> Substitution leitet man doch dz nach dx ab. Also steht dz
> im Zähler und dx im Nenner. Aber hier sit es genau anderst
> herum. Warum?
Was heißt normal?
Du kannst auch deine Substitution so ansetzen:
[mm] z:=\sin(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow z'=\frac{dz}{dx}=\cos(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow dx=\frac{dz}{\cos(x)} [/mm]
Klarer?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 19.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo DieAcht!
> Du kannst auch deine Substitution so ansetzen:
>
> [mm]z:=\sin(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z'=\frac{dz}{dx}=\cos(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow dx=\frac{dz}{\cos(x)}[/mm]
Für diese konkrete Aufgabe des Fragestellers hilft diese Substitution jedoch nicht weiter. Oder übersehe ich etwas?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo DieAcht!
>
>
> > Du kannst auch deine Substitution so ansetzen:
> >
> > [mm]z:=\sin(x)[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow z'=\frac{dz}{dx}=\cos(x)[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow dx=\frac{dz}{\cos(x)}[/mm]
>
> Für diese konkrete Aufgabe des Fragestellers hilft diese
> Substitution jedoch nicht weiter. Oder übersehe ich
> etwas?
Nein, du übersiehst nichts.
Für die Umsetzung müsste man natürlich das Integral vorher umschreiben.
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(z) dz}
[/mm]
Mit dem Beispiel wollte ich zeigen, dass es fast immer egal ist wie er seine Substitution bennent.
Man muss nur aufpassen, dass man bei den Variablen nichts doppelt nimmt.
Da er wohl "gerne" seine Substituion $z$ nennt wollte ich ihm die Konsequenzen zeigen 
>
> Gruß
> Loddar
Gruß
DieAcht
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