www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Integration durch Substitution
Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integration durch Substitution: Idee
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:50 Do 08.05.2014
Autor: Schuricht

Aufgabe
Finden sie eine Stammfunktion von [mm] g(x)=(x^2+1)^{-2}. [/mm]

Meine Idee:
Sei x=tan t =:e(t) [mm] \Rightarrow e'(t)=\bruch{1}{cos^2 t}. [/mm] Sei [mm] f(x):=\bruch{1}{x^2+1} \Rightarrow [/mm] F(x)=arctan x.

[mm] \Rightarrow [/mm] F(e(x))=arctan(tan(x))

Das ist jedoch falsch. Wie könnte ich noch vorgehen? Habe ich falsch substituiert?

Danke für Eure Hilfe!

        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Do 08.05.2014
Autor: MathePower

Hallo Schuricht,

> Finden sie eine Stammfunktion von [mm]g(x)=(x^2+1)^{-2}.[/mm]
>  Meine Idee:
>  Sei x=tan t =:e(t) [mm]\Rightarrow e'(t)=\bruch{1}{cos^2 t}.[/mm]
> Sei [mm]f(x):=\bruch{1}{x^2+1} \Rightarrow[/mm] F(x)=arctan x.
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] F(e(x))=arctan(tan(x))
>  
> Das ist jedoch falsch. Wie könnte ich noch vorgehen? Habe
> ich falsch substituiert?
>  


Nach Anwendung Deiner  Subsitution steht doch da:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(t\right)} \ dt[/mm]


> Danke für Eure Hilfe!


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Do 08.05.2014
Autor: Schuricht

So darf ich das nicht schreiben. Der Satz lautet:

Satz (Integration durch Substitution)
Sei f: [mm] D\subset \IK \rightarrow \IK, [/mm] D Gebiet mit Stammfunktion [mm] F:D\rightarrow \IK [/mm] und sei e: D [mm] \rightarrow [/mm] D diff'bar. Dann hat man f(e(.))e'(.):D [mm] \rightarrow \IK [/mm] Stammfunktion mit [mm] \integral{f(e(x))e'(x)dx}=F(e(x)). [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Do 08.05.2014
Autor: MathePower

Hallo  Schuricht,

> So darf ich das nicht schreiben. Der Satz lautet:
>  
> Satz (Integration durch Substitution)
>  Sei f: [mm]D\subset \IK \rightarrow \IK,[/mm] D Gebiet mit
> Stammfunktion [mm]F:D\rightarrow \IK[/mm] und sei e: D [mm]\rightarrow[/mm] D
> diff'bar. Dann hat man f(e(.))e'(.):D [mm]\rightarrow \IK[/mm]
> Stammfunktion mit [mm]\integral{f(e(x))e'(x)dx}=F(e(x)).[/mm]  


Es ist doch

[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}[/mm]

Weiterhin ist [mm]x=\tan\left(t\right)[/mm]

Daraus ergibt sich:[mm]dx=\left(1+\left(tan^{2}\left(t\right)\right) \ dt[/mm]

Damit wird:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right)^{2}} \left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right) \ dt}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(t\right)} \ dt}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 08.05.2014
Autor: Schuricht

Ja, aber wir haben das mit dt noch nicht eingeführt. wie kommst du auf

dx = ...?

Bezug
                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Do 08.05.2014
Autor: MathePower

Hallo Schuricht,

> Ja, aber wir haben das mit dt noch nicht eingeführt. wie
> kommst du auf
>  
> dx = ...?


Es ist doch

[mm]x'\elft(t\right)=\bruch{dx}{dt}=\bruch{d \tan\left(t\right)}{dt}[/mm]

Damit ergibt sich:

[mm]dx = \bruch{d \tan\left(t\right)}{dt} \ dt[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Do 08.05.2014
Autor: Schuricht

Wir haben solch eine Notation nicht, ich weiß nicht, was du meinst und die Antwrten sind so knapp, dass ich das damit nicht verstehe.

Trotzdem danke.

Bezug
                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Do 08.05.2014
Autor: Schuricht

Kann mir bitte jemand helfen?

Bezug
                                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 Do 08.05.2014
Autor: M.Rex

Hallo

> Kann mir bitte jemand helfen?

Ich kann mir nicht vorstellen, dass in einem Studium die Noation [mm] \frac{du}{dx} [/mm] nicht bekannt ist.

Nehmen wir mal ein Beispiel:

Gesucht ist:

[mm] $\int e^{3x+5}dx$ [/mm]

Eine Stammfunktion zu [mm] e^z [/mm] ist [mm] e^z, [/mm] das sollte bekannt sein.
Also substituieren wir mal u=3x+5
Dann hast wir aus [mm] $\int e^{3x+5}dx$ [/mm] das Integral
[mm] $\int e^{z}dx$. [/mm] Das Problem ist aber, dass die Integrationsvariable x ist, und nicht z. Außerdem hängt z von x ab.
Also musst du das Substitut mal nach x ableiten, dann bekommst du
[mm] \overbrace{\frac{du}{dx}}^{=u'(x)}=3 [/mm]
Das nach dx aufgelöst, ergibt
[mm] $dx=\frac{1}{3}\cdot [/mm] du$

Damit bekommst du dann:
[mm] \int e^{3x+5}=\int e^{z}\cdot\frac{1}{3}\cdot dz=\frac{1}{3}\cdot\int e^{z}dz [/mm]

Und nun kannst du die Stammfunktion bilden unr rücksubstituieren, es gilt
[mm] $\int e^{3x+5}=\frac{1}{3}\cdot\int e^{z}dz=\frac{1}{3}\cdot e^{z}=\frac{1}{3}\cdot e^{3x+5}$ [/mm]

Anderes Beispiel:

[mm] \int\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}dx [/mm]
Wenn du hier [mm] u=x^{3}-1 [/mm] substituierst, bekommst du
[mm] \frac{du}{dx}=3x^{2}\Leftrightarrow dx=\frac{du}{3x^{2}} [/mm]

Also
[mm] \int\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}dx [/mm]
[mm] =\int\frac{3x^{2}}{u}\cdot\frac{du}{3x^{2}} [/mm]
[mm] =\int\frac{1}{u}du [/mm]
[mm] =\ln(|u|) [/mm]
[mm] =\ln(|x^{3}-1|) [/mm]

Schau das auch mal auf []nibis.ni.de an.

Marius

Bezug
                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:58 Fr 09.05.2014
Autor: Sax

Hi,

wenn dir die (wirklich außerordentlich praktische) Schreibweise noch nicht geläufig ist, versuchen wir es mal folgendermaßen :

> So darf ich das nicht schreiben. Der Satz lautet:
>  
> Satz (Integration durch Substitution)
>  Sei f: [mm]D\subset \IK \rightarrow \IK,[/mm] D Gebiet mit
> Stammfunktion [mm]F:D\rightarrow \IK[/mm] und sei e: D [mm]\rightarrow[/mm] D
> diff'bar. Dann hat man f(e(.))e'(.):D [mm]\rightarrow \IK[/mm]
> Stammfunktion mit [mm]\integral{f(e(x))e'(x)dx}=F(e(x)).[/mm]  

Die letzte Formel wird meist von rechts nach links angewandt und deshalb nehmen wir mal folgende Änderung in der Bezeichnung vor : statt x schreiben wir t. Wohlgemerkt : das ist keine Substitution und hat nichts mit Integralrechnung zu tun, es ist lediglich ein Umtaufen der Variablen, so wie man die Formel des Pythagoras auch in der Form [mm] u^2+v^2=w^2 [/mm] schreiben kann, wenn die Dreiecksseiten entsprechend bezeichnet sind.

Die Gleichung wird also zu  [mm] \integral{f(e(t))e'(t)dt}=F(e(t)) [/mm]  (*)
Nun ist F eine Stammfunktion von f, also ist F'(x)=f(x), bzw. [mm] \integral{f(x)dx}=F(x) [/mm]  (**)
(Die Umbenennung hat stattgefunden, damit wir den Buchstaben x in dieser Zeile verwenden können.)

Nun siehst du Folgendes : die rechten Seiten der Gleichungen (*) und (**) stimmen überein, wenn x=e(t) ist. In diesem Fall müssen auch die linken Seiten übereinstimmen und wir erhalten also folgende Sunstitutionsregel :

[mm] \integral{f(x)dx}=\integral{f(e(t))e'(t)dt} [/mm]

Formal gehst du also folgendermaßen vor um das Integral [mm] \integral{f(x)dx} [/mm] zu berechnen :  1. ersetze x durch e(t) und 2. ersetze dx durch e'(t)dt.
Genau das wurde in den vorherigen Beiträgen gemacht.

Für dein Integral ergibt sich daraus nun folgendes :

Im Integral [mm] \integral{\bruch{1}{(1+x^2)^2}dx} [/mm] wird x ersetzt durch e(t)=tan(t). Damit wird [mm] e'(t)=\bruch{1}{cos^2(t)} [/mm] und dx muss also ersetzt werden durch [mm] \bruch{1}{cos^2(t)}dt. [/mm]

Du erhälst also das Integral  [mm] \integral{\bruch{1}{(1+tan^2(t))^2}* \bruch{1}{cos^2(t)}dt}=\integral({\bruch{1}{1+\bruch{sin^2(t)}{cos^2(t)}}* \bruch{1}{cos(t)})^2dt}= \integral{cos^2(t)dt} [/mm]

Gruß Sax.



Bezug
                                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:55 Fr 09.05.2014
Autor: Schuricht

Hey super! Danke für die Hilfe.

[mm] \integral{cos^2(t)} [/mm] ist die vorherige Aufgabe gewesen und lautet
[mm] \bruch{sin t\cdot cos t+t+c}{2} [/mm] für eine Konstante c.

Weil x=tan(t) ist t=arctan(x)

[mm] \Rightarrow \bruch{sin(arctan(x)\cdot cos(arctan(x)+arctan(x)+c}{2}=\bruch{1}{2}(\bruch{x}{\sqrt{x^2+1}}\bruch{1}{\sqrt{x^2+1}}+arctan(x)+c) =\bruch{1}{2}(\bruch{x}{x^2+1}+tan^{-1}(x)+c) [/mm]


Trotzdem die Frage: Wie komme ich am Anfgang auf x=tan(t)? Der Hinweis war gegeben in der Aufgabe.

Bezug
                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 So 11.05.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de