Integration durch Substitution < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 So 14.05.2006 | | Autor: | Bovarian |
| Aufgabe | Berechnen Sie für T>0 das Integral:
[mm] \integral_{0}^{T}{\bruch{x ln(x^2+1)}{x^2+1} dx}
[/mm]
mithilfe der Substitutionsregel. |
Hallo zusammen,
bitte um Bestätigung bzw. Korrektur meines Lösungsweges:
t:= [mm] x^2+1
[/mm]
dt/dx=2x
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{1}^{T^2+1}{\bruch{ln t}{t} dt}
[/mm]
Ich substituiere nun weiter:
u:= [mm] e^t
[/mm]
[mm] du/dt=e^t
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{ln1}^{ln(T^2+1)}{u du}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} (ln^2 (T^2+1) - ln^2 1)[/mm]
Kann ich das so machen?
...also zweimal substituieren?
Oder muss ich Anfangs einen andere Substitution wählen?
Danke
Gruß
Bovarian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 So 14.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
Hallo Bovarian,
ich habe zu dem, was Du geschrieben hast eine kleine Frage:
müsste die zweite Substitution nicht heissen:
[mm] u := ln t [/mm] und
[mm]\bruch{du}{dt} = \bruch{1}{t}[/mm]
Mit dieser Substitution würde ich dann erst einmal keine Probleme bei der Lösung sehen. Die Lösung muss dann natürlich noch als Funktion von x geschrieben werden.
> Berechnen Sie für T>0 das Integral:
> [mm]\integral_{0}^{T}{\bruch{x ln(x^2+1)}{x^2+1} dx}[/mm]
> mithilfe
> der Substitutionsregel.
> Hallo zusammen,
>
> bitte um Bestätigung bzw. Korrektur meines Lösungsweges:
>
> t:= [mm]x^2+1[/mm]
> dt/dx=2x
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{1}^{T^2+1}{\bruch{ln t}{t} dt}[/mm]
>
> Ich substituiere nun weiter:
>
> u:= [mm]e^t[/mm]
> [mm]du/dt=e^t[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{ln1}^{ln(T^2+1)}{u du}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4} (ln^2 (T^2+1) - ln^2 1)[/mm]
>
> Kann ich das so machen?
> ...also zweimal substituieren?
> Oder muss ich Anfangs einen andere Substitution wählen?
>
> Danke
> Gruß
> Bovarian
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 14.05.2006 | | Autor: | Bovarian |
Sorry,
wenn ich u:= ln t setze, dann ist ja t = [mm] e^u [/mm] und ich komme dann auf das zweite Integral.
Warummuss ich das als Funktion von x schreiben?
Wenn ich das Integral berechne mit den transformierten grenzen bin ich doch fertig,oder?
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> Sorry,
> wenn ich u:= ln t setze, dann ist ja t = [mm]e^u[/mm] und ich komme
> dann auf das zweite Integral.
> Warummuss ich das als Funktion von x schreiben?
> Wenn ich das Integral berechne mit den transformierten
> grenzen bin ich doch fertig,oder?
Ja. Ich vermute, in Wolferls Kopf hatte sich ein unbestimmtes Integral eingenistet.
Gruß,
Peter
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Da ich zu Flüchtigkeitsfehlern neige, habe ich das lieber mit dem Programm Maple nachvollzogen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Peter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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