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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Sa 04.11.2006 | | Autor: | TRANSLTR |
| Aufgabe | a) [mm] (3x-5)^{6}
[/mm]
b) [mm] \bruch{5}{3u-4} [/mm] |
Wie genau löst man Integralaufgaben mit der Substitution? Ich habe mir schon auf ein paar Seiten das Prinzip angeschaut, verstehe es aber trotzdem nicht ganz.
Bei Aufgabe a bin ich so vorgegangen:
[mm] (3x-5)^{6}
[/mm]
->3x-5 substituiert durch y->
[mm] y^{6} [/mm]
->integrieren->
[mm] \bruch{y^{7}}{7}
[/mm]
->y wieder zurückersetzen->
[mm] \bruch{(3x-5)^{7}}{7}
[/mm]
Die Lösung lautet aber:
[mm] \bruch{1}{21}*(3x-5)^{7}
[/mm]
Aufgabe b:
[mm] \bruch{5}{3u-4}
[/mm]
->y = 3u-4->
[mm] \bruch{5}{y}
[/mm]
->integrieren->
5 * ln(y)
->y wieder einsetzen->
5 * ln|3u-4|
Die Lösung aber lautet:
[mm] \bruch{5}{3}*ln|3u-4|
[/mm]
Was mache ich falsch und wie genau sollte man vorgehen?
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Hi Transl,
du machst eigentlich alles richtig, vergisst nur die Hälfte 
[mm]\integral{(3x-5)^6 dx}[/mm]
[mm]y = 3x-5 [/mm]
[mm]\Rightarrow dy = (3x-5)' dx = 3dx[/mm]
[mm]dx = \bruch{1}{3}dy[/mm]
Jetzt ersetzen:
[mm]\integral{y^6 dx}[/mm]
Aber da du nun nicht mehr nach x integrieren willst, sondern nach y, musst du das dx auch ersetzen und es gilt ja [mm]dx = \bruch{1}{3}dy[/mm]
[mm]\integral{y^6 \bruch{1}{3}dy} = \bruch{1}{3}\integral{y^6 dy}[/mm]
[mm]= \bruch{1}{3}\bruch{y^7}{7}[/mm]
[mm]=\bruch{(3x-5)^7}{21}[/mm]
Die b) schaffst nu alleine, wenn net, einfach nochmal nachfragen 
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 So 05.11.2006 | | Autor: | TRANSLTR |
Hey...danke vielmals für die Antwort.....
Aber ich verstehe trotzdem nicht ganz, was du gemacht hast.
Der erste Teil ist mir unklar.
y = 3x-5
Aber was ist gemeint mit
dy=(3x-5)'dx=3dy
[mm] dx=\bruch{1}{3}dy
[/mm]
Ich verstehe die Schreibweisen dy und dx nicht.
Hast du jetzt 3x-5 integriert?
Das gäbe dann [mm] \bruch{3x^{2}}{2}-5x
[/mm]
Oder has du differenziert?
Das gäbe aber 3.
Sorry..versteh's nicht :S
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Hall TRANSLTR!
> Hey...danke vielmals für die Antwort.....
> Aber ich verstehe trotzdem nicht ganz, was du gemacht
> hast.
> Der erste Teil ist mir unklar.
> y = 3x-5
> Aber was ist gemeint mit
> dy=(3x-5)'dx=3dy
> [mm]dx=\bruch{1}{3}dy[/mm]
>
> Ich verstehe die Schreibweisen dy und dx nicht.
> Hast du jetzt 3x-5 integriert?
> Das gäbe dann [mm]\bruch{3x^{2}}{2}-5x[/mm]
> Oder has du differenziert?
> Das gäbe aber 3.
>
> Sorry..versteh's nicht :S
Es gilt zu ermitteln:
[mm] \integral{(\red{3x-5})^{6} \blue{dx}}
[/mm]
Wir substituieren: [mm]\red{y}=3x-5[/mm]
Bei der Integration mittels Substitution muss man, weil man die zu integrierende Funktion durch das Austauchen verändert, auch das Defferential ändern. Dies macht man, indem man die 'alte' Funktion ableitet, also f'(x) bildet. Da f'(x) nichts anderes ist als der Differentialquotient [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] kann man anstelle der Bezeichnung f'(x) auch [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] schreiben. Heißt deine Funktion y=f(x)=3x-5 dann ergibt sich die erste Ableitung, also f'(x) bzw. [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] , zu [mm] f'(x)=\bruch{dy}{dx}=3. [/mm]
Die Gleichung [mm] \bruch{dy}{dx}=3 [/mm] kannst du nun ganz normal, nach den Regeln der Äquivalenzumformung, nach dx (also nach deiner 'alten' Integrationsvariablen) umstellen. In deinem Fall erhielte man dabei [mm]dx=\blue{\bruch{1}{3}dy}[/mm].
Tauscht du nun in deinem 'alten' Integral die substituierte Funktion mit dem Term y aus, so musst du auch die Integrationsvariable austauschen. Anstelle von dx steht demnach nun im Integral [mm] \bruch{1}{3}dy.
[/mm]
Somit sieht das Integral wie folgt aus:
[mm] \integral{\red{y}^{6} \blue{\bruch{1}{3}dy}}
[/mm]
An dieser Stelle wird dann ganz einfach nach den bekannten Regeln integriert.
[mm] \integral{\red{y}^{6} \blue{\bruch{1}{3}dy}}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{7}*y^{7}+c
[/mm]
Achtung: Am Ende der Integration das zurücktauschen des Integranden (resubstituieren) nicht vergessen, sonst stimmt das Integral nicht.
[mm] \bruch{1}{3}\bruch{1}{7}y^{7}+c=\green{\bruch{1}{21}(3x-5)+c}
[/mm]
(c ist die Integrationskonstante, welche bei unbestimmten Integralen IMMER mitzuschreiben ist!)
Hoffe, das war einiger Maßen einleuchtend.
Gruß,
Tommy
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Zusatzbemerkung:
Wenn Integrieren so einfach ginge wie zu Anfang versucht, könnte man jede Funktion spielend leicht integrieren:
Den Integranden (auch die wildeste Funktion) einfach y nennen. Nun nach der (falschen) einfachen Regel integrieren: Gibt immer [mm] \bruch{y^{2}}{2}; [/mm] jetzt einfach wieder für y den Term einsetzen.
Klar, dass es so nicht geht - oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 So 05.11.2006 | | Autor: | TRANSLTR |
Danke Leute!Vielen Dank!
Ich glaub' jetzt kapier' ich's langsam....
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