www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Integration durch Substitution
Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Mi 02.05.2007
Autor: vicky

Aufgabe
Man betsimme folgendes unbestimmtes Integral:

[mm] \integral {\bruch{dx}{(x^2+x+1)^2}} [/mm]

Hallo,

kann mir hier vielleicht jemand helfen? Ich denke das man hier die Substitutionsregel anwenden kann. Aber wie? Ich kenne bereits das Ergebnis allerdings weiß ich nicht genau wie man dahin kommt.
Meine Vermutung ist u = [mm] x^2+x+1. [/mm]

Wäre für jede Hilfe/jeden Ansatz dankbar.

Gruß
vicky

        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Mi 02.05.2007
Autor: nsche

etliche lösbare Intergrale haben im Nenner so etwas wie  [mm] x^2 \pm a^2 [/mm] stehen.
In deiner Aufgabe kriegst du den Nenner mittels quadratischer Ergänzung in so eine Gestalt:

[mm]x ^2 +x+1 = (x+\bruch {1}{2} )^2 + \bruch{3}{4} [/mm]

dann [mm]t=x+\bruch{1}{2}[/mm]

vG
Norbert  

Bezug
                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Mi 02.05.2007
Autor: vicky

... aber muß ich nicht noch das äußere Quadrat [mm] (...)^2 [/mm] beachten???
Kann leider nicht soviel mit dem Hinweis anfangen aber trotzdem vielen Dank für die Mühe.

Gruß
vicky

Bezug
                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Do 03.05.2007
Autor: nsche

bitte entschuldige die späte Reaktion
die 1 im Nenner kannst du schreiben als
[mm] t^2 - t^2 + \bruch {3}{4} * \bruch {4}{3} [/mm]
damit kann das Integral in die Form
[mm] \bruch {4}{3} \integral_{}^{}{\bruch{(t^2+ \bruch{3}{4}) - t^2}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dx} [/mm]

übergeführt werden. Nun hast du die Differenz zweier Integrale. Kommst du damit weiter ?

vG
Norbert

Bezug
                                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:26 Sa 05.05.2007
Autor: vicky

Hallo,
danke für die Antwort. Doch leider hilft mir das nicht wirklich weiter da ich nicht verstehe worauf du hinaus willst. :-(

Ich habe es mit einer Rekursionsformel versucht (bzw. eine zu entwickeln). Das Intergral für [mm] \integral\bruch{dx}{(x^2+x+1)} [/mm] habe ich bereits ermitteln können bzw. die Stammfunktion. In zahlreichen Büchern stehen Formeln für die Lösung meiner Aufgabe doch nicht wirklich der genaue Weg.

Bin für jede Hilfe sehr dankbar.

Beste Grüße
vicky



Bezug
                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:12 Sa 05.05.2007
Autor: Kari

Hallo!

Ich habe genau die gleiche Aufgabe zu lösen.
Auf eine Rekursionsformel komme ich auch, aber ich weiß nicht, wie ich die dann lösen kann.

Meine Lösung lautet bisher mit [mm] D=\bruch{3}{4} [/mm] und [mm] t=(\bruch{x}{\wurzel{D}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{D}}) [/mm]

[mm] \bruch{1}{D*\wurzel{D}}\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t²+1)²}} [/mm]

Das Integral wird dann zu einer rekursiven Formen

[mm] I=\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t²+1)²}}=\bruch{t}{(t²+1)²}+4\integral_{}^{}{\bruch{t²dt}{(t²+1)³}} [/mm]
= [mm] \bruch{t}{(t²+1)²}+4\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t²+1)²}}-4\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t²+1)³}} [/mm]

Die letzten beiden Terme wiederholen sich ja. Wie löse ich denn so etwas? Ich habe davon leider keine Ahnung :(

LG Kari

Bezug
                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:13 So 06.05.2007
Autor: nsche

darf ich hier noch mal ansetzen?
$ [mm] \bruch [/mm] {4}{3} [mm] \integral_{}^{}{\bruch{(t^2+ \bruch{3}{4}) - t^2}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt} [/mm] $

[mm] = \bruch {4}{3} \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t^2+\bruch{3}{4})}} - \bruch {4}{3} \integral_{}^{}{\bruch{(t^2)}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt} [/mm]

das erste Integral ist eines der Grundintegrale das zweite läßt sich umformen zu:
[mm]\bruch {4}{2*3} \integral_{}^{}{\bruch{(2*t*t)}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt} [/mm]
[mm]= \bruch {2}{3} \integral_{}^{}{t \bruch{(2*t)}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt} [/mm]
[mm]= -\bruch {2}{3} \integral_{}^{}{t (\bruch{1}{t+\bruch{3}{4}})' dt} [/mm]

und ist möglicherweise mittels partieller Integration zu knacken.

vG
Norbert

Bezug
                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 So 06.05.2007
Autor: Kari

Hallo Norbert!

Diese Vorgehensweise verstehe ich und ich könnte das Integral auch lösen. Vielen Dank für den Tip!
Ich verstehe allerdings nicht, wie Du auf dieses Integral

[mm]\bruch {4}{3} \integral_{}^{}{\bruch{(t^2+ \bruch{3}{4}) - t^2}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt}[/mm]

kommst. Ich habe versucht nachzuvollziehen, wie der Nenner zustande kommt, es aber bisher nicht verstanden. *seufz*

Es wäre klasse, wenn Du so nett wärest, mir da auf die Sprünge zu helfen .

Danke
LG Kari

Bezug
                                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 So 06.05.2007
Autor: nsche

hallo Kari,

$ x ^2 +x+1 = [mm] (x+\bruch [/mm] {1}{2} [mm] )^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] $

mit $ [mm] t=x+\bruch{1}{2} [/mm] $
wird daraus [mm]t^2 + \bruch{3}{4}[/mm]

das führt auf das Integral:

[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{(t^2 + \bruch{3}{4})^2} dt} [/mm]

nun wär's gut das Quadrat des Nenners wär weg und/oder im Zähler gäb's was in Richtung: Ableitung des Nenners.

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{3}{4}\bruch{4}{3}}{(t^2 + \bruch{3}{4})^2} dt} = [/mm]

[mm] \bruch{4}{3}\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{3}{4}}{(t^2 + \bruch{3}{4})^2} dt} = [/mm]

[mm] \bruch{4}{3}\integral_{}^{}{\bruch{t^{2} +\bruch{3}{4} -t^{2}}{(t^2 + \bruch{3}{4})^2} dt}[/mm]

vG
Norbert



Bezug
                                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 So 06.05.2007
Autor: Kari

Großartig! Vielen Dank! Ich habe die Substitution [mm] t=x+\bruch{1}{2} [/mm] einfach verplant.

Danke noch mal :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de