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| Aufgabe | Berechnen Sie das bestimmte Integral:
[mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-sin(x)} dx} [/mm] |
Hallo,
ich scheitere gerade an dieser Aufgabe.
Was muss ich denn da substiuieren, damit man weiterkommt. Ich hab es schon mit [mm]1 - \sin x[/mm] und [mm]\sin x[/mm] probiert. Aber beides mal scheitert es daran, dass ich dann ja ein vielfaches von cos(x) in den Nenner bekomm.
Ich hoffe meine Frage ist verständlich.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
Gruß
hackbert-celine
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo.
Fehlt da nicht ein Quadrat?
[mm] \int \sqrt{1-sin^2(x)}
[/mm]
?
Edit: Hoppla, da bin ich aus Versehen auf Frage statt Mitteilung gekommen...
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Also laut Aufgabenstellung ist die Aufgabe OHNE Quadrat. Bin auch etwas verwundert. Mit Quadrat hätte ich schon Ideen wie es mit den Additionstheoremen gehen könnte - aber so nicht :(.
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Hallo Stephan,
> Berechnen Sie das bestimmte Integral:
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> [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-sin(x)} dx}[/mm]
> Hallo,
>
> ich scheitere gerade an dieser Aufgabe.
>
> Was muss ich denn da substiuieren, damit man weiterkommt.
> Ich hab es schon mit [mm]1 - \sin x[/mm] und [mm]\sin x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
probiert. Aber
> beides mal scheitert es daran, dass ich dann ja ein
> vielfaches von cos(x) in den Nenner bekomm.
>
> Ich hoffe meine Frage ist verständlich. 
Ja, ist sie!
Probiere mal die Substitution $u=\sqrt{1-\sin(x)}$
Dann ist $\frac{du}{dx}=-\frac{\cos(x)}{2\sqrt{1-\sin(x)}$, also $dx=-\frac{2\sqrt{1-\sin(x)}}{\cos(x)} \ du$
Und weiter $\int{\sqrt{1-\sin(x)} \ dx}=\int{\sqrt{1-\sin(x)}\cdot{}\left(-\frac{2\sqrt{1-\sin(x)}}{\cos(x)}\right) \ du}=-2\int{\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)} \ du}$
$=-2\int{\frac{1-\sin(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}} \ du}$
Nun ist nach unserer Substitution: $1-\sin(x)=u^2$ und $1-\sin^2(x)=1-(1-u^2)^2$
Also $-2\int{\frac{1-\sin(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}} \ du}=-2\int{\frac{u^2}{\sqrt{1-(1-u^2)^2}} \ du}=-2\int{\frac{u^2}{\sqrt{2u^2-u^4}} \ du} $
Nun $u^2$ unter der Wurzel ausklammern und rausziehen und mit dem $u^2$ im Zähler kürzen:
$=-2\int{\frac{u}{\sqrt{2-u^2}} \ du} $
Nun noch ne Substitution $z:=2-u^2$
Die mache mal, dann schön alles resubstituieren und du hast es ..
>
> Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
>
> Gruß
> hackbert-celine
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Stephan,
>
> > Berechnen Sie das bestimmte Integral:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-sin(x)} dx}[/mm]
> >
> Hallo,
> >
> > ich scheitere gerade an dieser Aufgabe.
> >
> > Was muss ich denn da substiuieren, damit man weiterkommt.
> > Ich hab es schon mit [mm]1 - \sin x[/mm] und [mm]\sin x[/mm] probiert. Aber
> > beides mal scheitert es daran, dass ich dann ja ein
> > vielfaches von cos(x) in den Nenner bekomm.
> >
> > Ich hoffe meine Frage ist verständlich.
>
> Ja, ist sie!
>
> Probiere mal die Substitution [mm]u=\sqrt{1-\sin(x)}[/mm]
Oder, auch nicht schlecht, zuerst mit [mm] $\sqrt{1+\sin(x)}$ [/mm] erweitern, dann [mm] $u=1+\sin(x)$ [/mm] substitutieren:
[mm]\int\limits_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-\sin(x)}\;dx=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\cos(x)}{\sqrt{1+\sin(x)}}\; dx=\int\limits_1^2\frac{1}{\sqrt{u}}\; du=\Big[2u^{1/2}\Big]_{u=1}^2=2\sqrt{2}-2\cdot 1=2\cdot(\sqrt{2}-1)[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Wahlweise kannst du auch mit x=arcsin(t) anfangen, dann hast dud as in ein paar Zeilen gegessen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Vielen Dank.
Hat nun geklappt.
Liebe Grüße Steph
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