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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe ein paar Verständnisprobleme bei der Definition der Substitutions-Regel.
Die Definition lautet ja:
Ist f(t) eine integrierbare Funktion und [mm] \phi(x) [/mm] eine auf dem Intervall [a,b] stetig differenzierbare und streng monotone Funktion, deren Bildbereich im Definitionsbereich von f liegt, dann gilt
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*\underbrace{\phi'(x)}_{=\bruch{d\phi(x)}{dx}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(t) dt}
[/mm]
Nun hab ich hier noch ein Beispiel dazu:
[mm] \integral_{0}^{a}{sin(2x) dx}=\integral_{0}^{2a}{sin(t) \bruch{dt}{2}}
[/mm]
Ich hab schon hunderte Male Substitution benutzt, allerdings hab ich bisher nie die Definition davon verstanden ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]") .
Das Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*\underbrace{\phi'(x)}_{=\bruch{d\phi(x)}{dx}} dx} [/mm] ist ja das Integral, in dem ich substituieren will.
Ich versteh das irgendwie überhaupt nicht, dass in diesem Integral noch diese Ableitung (das ist ja glaube ich die Änderung der Differentiale) mit drin steht.
Ich hab die immer erst mit ins Integral eingebracht, in dem Moment, wo ich substituiert habe.
In dem Beispiel steht das ja auch erst im zweiten Integral. Ich kann dieses Ableitungsding im ersten Integral überhaupt nicht finden...
Ich mein, [mm] \phi(x) [/mm] ist ja 2x.
Wenn dann im ersten Integral noch die Ableitung mit drinne stände, da stände dann ja plötzlich [mm] \integral_{0}^{a}{sin(2x)*2 dx} [/mm] ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Also irgendwie ist das komisch...
Auch überhaupt in der Definition im Ausgangsintegral.
Da steht ja [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*\underbrace{\phi'(x)}_{=\bruch{d\phi(x)}{dx}} dx}.
[/mm]
Wenn ich das unter der geschweiften Klammer jetzt mal im Integral ersetze:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*\bruch{d\phi(x)}{dx} dx}=\integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*d\phi(x)}.
[/mm]
Da kürzt sich ja plötzlich das Differential raus ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Kann mir das vielleicht jemand erklären?
LG, Nadine
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> Hallo zusammen!
>
> Ich habe ein paar Verständnisprobleme bei der Definition
> der Substitutions-Regel.
>
> Die Definition lautet ja:
>
> Ist f(t) eine integrierbare Funktion und [mm]\phi(x)[/mm] eine auf
> dem Intervall [a,b] stetig differenzierbare und streng
> monotone Funktion, deren Bildbereich im Definitionsbereich
> von f liegt, dann gilt
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*\underbrace{\phi'(x)}_{=\bruch{d\phi(x)}{dx}} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(t) dt}[/mm]
>
> Nun hab ich hier noch ein Beispiel dazu:
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{sin(2x) dx}=\integral_{0}^{2a}{sin(t) \bruch{dt}{2}}[/mm]
>
> Ich hab schon hunderte Male Substitution benutzt,
> allerdings hab ich bisher nie die Definition davon
> verstanden .
>
> Das Integral
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*\underbrace{\phi'(x)}_{=\bruch{d\phi(x)}{dx}} dx}[/mm]
> ist ja das Integral, in dem ich substituieren will.
>
> Ich versteh das irgendwie überhaupt nicht, dass in diesem
> Integral noch diese Ableitung (das ist ja glaube ich die
> Änderung der Differentiale) mit drin steht.
> Ich hab die immer erst mit ins Integral eingebracht, in dem
> Moment, wo ich substituiert habe.
>
>
> In dem Beispiel steht das ja auch erst im zweiten Integral.
> Ich kann dieses Ableitungsding im ersten Integral überhaupt
> nicht finden...
>
> Ich mein, [mm]\phi(x)[/mm] ist ja 2x.
>
> Wenn dann im ersten Integral noch die Ableitung mit drinne
> stände, da stände dann ja plötzlich
> [mm]\integral_{0}^{a}{sin(2x)*2 dx}[/mm]
>
> Also irgendwie ist das komisch...
>
> Auch überhaupt in der Definition im Ausgangsintegral.
>
> Da steht ja
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*\underbrace{\phi'(x)}_{=\bruch{d\phi(x)}{dx}} dx}.[/mm]
>
> Wenn ich das unter der geschweiften Klammer jetzt mal im
> Integral ersetze:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*\bruch{d\phi(x)}{dx} dx}=\integral_{a}^{b}{f(\phi(x))*d\phi(x)}.[/mm]
>
> Da kürzt sich ja plötzlich das Differential raus
>
> Kann mir das vielleicht jemand erklären?
>
> LG, Nadine
Hallo Nadine,
ich nehme einmal an, dass du die d-Schreibweise (oder
Leibniz-Schreibweise) für Ableitungen kennst:
Statt f'(x) kann man auch [mm] \bruch{d f(x)}{dx} [/mm] schreiben,
oder, wenn y=f(x) ist, so ist [mm] f'(x)=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
Dies kommt ja eigentlich daher, dass f'(x) = [mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\ 0}\bruch{\Delta y}{\Delta x}
[/mm]
Leibniz hat sich die "Differentiale" dx und dy als "unendlich
kleine Grössen" vorgestellt (aber trotzdem dx [mm] \not= [/mm] 0, damit
man den Quotienten dy/dx noch bilden kann).
Wenn nun bei einer Substitution [mm] \phi(x) [/mm] = t gesetzt wird
mit einer differenzierbaren Funktion [mm] \phi(x) [/mm] , dann gilt also:
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \phi'(x)
[/mm]
Nun darf man diese Gleichung beidseitig mit dem Differential
dx multiplizieren und hat:
dt = [mm] \phi'(x)*dx
[/mm]
oder auch:
dx = [mm] \bruch{dt}{\phi'(x)}
[/mm]
Wegen t = [mm] \phi(x) [/mm] darf man statt dt auch [mm] d\phi(x) [/mm] schreiben.
Dies ist zwar ein etwas salopper Umgang mit solchen Ausdrücken.
Man kann aber dies alles mittels formal korrekter Argumente
(und jeder Menge an Grenzwertüberlegungen) untermauern.
Das Schöne: auch die "saloppe" Methode funktioniert...
Ich denke, damit sollte deine zentrale Frage beantwortet sein.
Sollten doch noch Unklarheiten bleiben, dann melde dich
nochmals !
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 17.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al-Chwarizmi!
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich glaube aber, dass mit den Differentialen meinte ich gar nicht.
Was ich nicht verstehe ist, wie ich diese Formale Definition auf ein Integral anwenden soll, in dem ich substituieren soll.
Das Glied [mm] f(\phi(x)) [/mm] kann ich im einem Ursprungsintegral ja noch ausmachen, aber den Teil mit der Ableitung nicht.
Wie gesagt, der trat bei mir immer erst nach der Substitution auf...
Vielleicht könnten wie ja mal das Beispiel benutzen: [mm] \integral_{0}^{a}{sin(2x) dx}
[/mm]
In diesem Integral will ich nun Substitution durchführen.
Also entspricht dieses Ausgangsintegral ja auch dem Ausgangsintegral in der Definition:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi(x))\cdot{}\underbrace{\phi'(x)}_{=\bruch{d\phi(x)}{dx}} dx}
[/mm]
So, [mm] \phi(x) [/mm] ist ja quasi die Innere Funktion, in diesem Fall 2x.
Und f(...) ist die äußere Funktion, also sin(...).
Damit wäre in [mm] f(\phi(x)) [/mm] ja quasi schon mein ganzer Integrad drin.
Und wo ist dann noch die Ableitung [mm] \phi'(x), [/mm] die ja an [mm] f(\phi(x)) [/mm] dranmultilpliziert wird?
[Also das Ding, was in der Definition zwischen [mm] f(\phi(x)) [/mm] und dx steht...]
Ist [mm] \phi'(x) [/mm] dann 1?
Aber eigentlich müsste es ja dann 2 sein, weil oben hab ich ja geschrieben, dass [mm] \phi(x)=2x [/mm] ist. Und wenn ich das eben ableite...
Aber in dem Integral steht nirgends eine 2...
Weißt du was ich meine?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
du hast eigentlich alles richtig selbst erkannt 
Aber Schritt für Schritt:
> So, [mm]\phi(x)[/mm] ist ja quasi die Innere Funktion, in diesem
> Fall 2x.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und f(...) ist die äußere Funktion, also sin(...).
> Damit wäre in [mm]f(\phi(x))[/mm] ja quasi schon mein ganzer
> Integrad drin.
> Und wo ist dann noch die Ableitung [mm]\phi'(x),[/mm] die ja an
> [mm]f(\phi(x))[/mm] dranmultilpliziert wird?
Werden wir gleich sehen....
> Ist [mm]\phi'(x)[/mm] dann 1?
>
> Aber eigentlich müsste es ja dann 2 sein, weil oben hab ich
> ja geschrieben, dass [mm]\phi(x)=2x[/mm] ist. Und wenn ich das eben
> ableite...
Richtig, da kommt [mm]\phi'(x)=2[/mm] raus.
> Aber in dem Integral steht nirgends eine 2...
Dann basteln wir uns doch eine:
[mm]\integral_{0}^{a}{sin(2x) dx} = \integral_{0}^{a}{\bruch{1}{2}*2*sin(2x) dx} = \bruch{1}{2}\integral_{0}^{a}{2*sin(2x) dx}[/mm]
Und nun wendest du die Substituionsregel genau so an, wie du sie verstanden hast.
Sich passende Faktoren "basteln" zu müssen, damit die Substitutionsregel schön funktioniert, ist eigentlich gängig, also gut merken.....
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Di 17.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Gono!
Ganz herzlichen Dank für deine Antwort ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
LG, Nadine
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