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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Fr 27.02.2009
Autor: lotusbluete

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^6}{\wurzel{1-x^6}} dx} [/mm]

Dies ist eine Klausuraufgabe und der Taschenrechner spuckt mir folgendes Ergebnis aus :  [mm] \bruch{1}{3}*sin(x^3) [/mm]
Doch egal was ich bisher gemacht habe kam ich  nie auf dieses Ergebnis.

        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Fr 27.02.2009
Autor: VornameName

Hallo lotusbluete,

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^6}{\wurzel{1-x^6}} dx}[/mm]
>  Dies ist
> eine Klausuraufgabe und der Taschenrechner spuckt mir
> folgendes Ergebnis aus :  [mm]\bruch{1}{3}*sin(x^3)[/mm]
>  Doch egal was ich bisher gemacht habe kam ich  nie auf
> dieses Ergebnis.  

Das Ergebnis ist irgendwie seltsam. Wenn man das wieder ableitet, erhält man [mm]x^2\cos\left(x^3\right)\ne\tfrac{x^6}{\sqrt{1-x^6}}[/mm].
Substituiert man für [mm]x\![/mm] folgendes: [mm]x(z):=\sqrt[3]{\sin(z)}[/mm], vereinfacht sich der Term zu [mm]\textstyle\frac{1}{3}\int{\sin(z)^{4/3}\,\operatorname{d}\!z}[/mm]. Funktionen wie [mm]\textstyle\int{\sqrt{\sin(z)}\,\operatorname{d}\!z}[/mm] kann man z.B. nicht geschlossen darstellen. Und ich denke, das ist hier auch der Fall.

Gruß V.N.

Bezug
                
Bezug
Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Fr 27.02.2009
Autor: lotusbluete

Mir ist da ein Fehler unterlaufen das Ergebnis ist falsch, welches ich angegeben habe. Das richtige Ergebnis lautet: [mm] \bruch{1}{3}arcsin(x^3) [/mm]
Sorry!

Bezug
                        
Bezug
Integration durch Substitution: nicht richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:04 Fr 27.02.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Lotusblüte!


Das kann aber auch nicht stimmen, da sich dann als Ableitung [mm] $\bruch{x^{\red{2}}}{\wurzel{1-x^6}}$ [/mm] ergibt.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 Fr 27.02.2009
Autor: lotusbluete

Es tut mir wirklich Leid heute ist wohl nicht mein Tag. Die Aufgabe lautet [mm] auch:\integral_{}^{}{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^6}} dx} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Fr 27.02.2009
Autor: Roadrunner

Hallo lotusblüte!


Okay. Dann ist der Weg auch machbar ... ;-)

Um auf das genannte Ergebnis zu kommen, musst Du substituieren:
[mm] $$x^3 [/mm] \ := \ [mm] \sin(u)$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


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