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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Di 10.03.2009 | | Autor: | ggg |
Hallo, ich bin so langsam am verzweifeln bei der Substitution
$ f:\ [mm] [d,c]\to\IR [/mm] $ integrierbar, $ [mm] \varphi:\ [a,b]\to\IR [/mm] $ stetig differenzierbar, $ [mm] [\varphi(a),\varphi(b)]\subset[d,c] [/mm] $
Dann gilt:
$ [mm] \int\limits_a^b f(\varphi(x))\cdot{}\varphi'(x)\; \mbox{d}x=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z [/mm] $
Ich verstehe nicht die Intervallbezeichnung von [mm] \int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z [/mm]
was soll das [mm] {\varphi(a)} [/mm] und [mm] {\varphi(b)} [/mm] bedeuten. Ich kann mir nichts darunter vorstellen.
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> Hallo, ich bin so langsam am verzweifeln bei der
> Substitution
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> [mm]f:\ [d,c]\to\IR[/mm] integrierbar, [mm]\varphi:\ [a,b]\to\IR[/mm] stetig
> differenzierbar, [mm][\varphi(a),\varphi(b)]\subset[d,c][/mm]
>
> Dann gilt:
>
> [mm]\int\limits_a^b f(\varphi(x))\cdot{}\varphi'(x)\; \mbox{d}x=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z[/mm]
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> Ich verstehe nicht die Intervallbezeichnung von
> [mm]\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z[/mm]
>
> was soll das [mm]{\varphi(a)}[/mm] und [mm]{\varphi(b)}[/mm] bedeuten. Ich
> kann mir nichts darunter vorstellen.
Hallo ggg,
es geht bei dieser Formel um eine Art Koordi-
natentransformation, welche durch die Funktion
[mm] \varphi [/mm] vermittelt wird. Wir können schreiben:
$\ [mm] z=\varphi(x)$
[/mm]
$\ [mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{d\varphi(x)}{dx}=\varphi'(x)$
[/mm]
$\ [mm] dz=\varphi'(x)\,dx$
[/mm]
Liegt nun $\ x$ im Intervall $\ [a,b]$, so liegt $\ [mm] z=\varphi(x)$ [/mm]
in der Menge [mm] \varphi([a,b]). [/mm] Die Integration nach x hat
die Integrationsgrenzen [mm] x_1=a [/mm] und [mm] x_2=b. [/mm] Die Integrations-
grenzen für die z-Integration sind dann natürlich
[mm] z_1=\varphi(x_1)=\varphi(a) [/mm] und [mm] z_2=\varphi(x_2)=\varphi(b) [/mm] .
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mi 11.03.2009 | | Autor: | ggg |
Ich verstehe aber nicht ganz die Bedeutung, die dahinter steckt. Ich meine, das man sich für diese Schreibweise entschieden hat, hat doch bestimmt doch ihren Sinn und Vorteile.
Kann es sein das wir mit dieser schreibweise
[mm] \int\limits_a^b f(\varphi(x))\cdot{}\varphi'(x)\; \mbox{d}x
[/mm]
Probleme haben werden, wenn wir die Kettenregel integrieren.
wärend uns diese schreibweise
[mm] \int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z [/mm]
uns ermöglichst das integral zu vereinfachen in dem wir den vorigen Ausdruck wie gesagt mit $ \ [mm] z=\varphi(x) [/mm] $ ersetzen und dan integrieren.
Und wenn ja, gäbe es dann noch ein Vorteil dieser Schreibweise die ich leider nicht erkenne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe aber nicht ganz die Bedeutung, die dahinter
> steckt. Ich meine, das man sich für diese Schreibweise
> entschieden hat, hat doch bestimmt doch ihren Sinn und
> Vorteile.
>
> Kann es sein das wir mit dieser schreibweise
>
> [mm]\int\limits_a^b f(\varphi(x))\cdot{}\varphi'(x)\; \mbox{d}x[/mm]
>
> Probleme haben werden, wenn wir die Kettenregel
> integrieren.
> wärend uns diese schreibweise
>
> [mm]\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z[/mm]
>
> uns ermöglichst das integral zu vereinfachen in dem wir den
> vorigen Ausdruck wie gesagt mit [mm]\ z=\varphi(x)[/mm] ersetzen und
> dan integrieren.
> Und wenn ja, gäbe es dann noch ein Vorteil dieser
> Schreibweise die ich leider nicht erkenne.
Du kannst Dir das ganze mit dem Hauptsatz für die Integralrechnung klarmachen:
Sei $F$ eine Stammfunktion für [mm] $f\,.$ [/mm] Dann ist $(F [mm] \circ \varphi)$ [/mm] eine Stammfunktion für $(f [mm] \circ \varphi) \circ \varphi'\,.$ [/mm]
(Um dies einzusehen kannst Du $(F [mm] \circ \varphi)$ [/mm] nach der Kettenregel ableiten.)
Daher gilt nach dem HDI zunächst
[mm] $$(\star_1)\;\;\;\int_a^b [/mm] ((f [mm] \circ \varphi) \circ \varphi')(x)\,\text{d}x=\left[F \circ \varphi\right]_a^b=(F \circ \varphi)(b)-(F \circ \varphi)(a)=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))\,.$$
[/mm]
Andererseits ist ja [mm] $F\,$ [/mm] auch eine Stammfunktion für [mm] $f\,,$ [/mm] also ergibt sich zudem wieder nach dem HDI
[mm] $$(\star_2)\;\;\;\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\,\text{d}z=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))\,.$$
[/mm]
[mm] $(\star_1)$ [/mm] und [mm] $(\star_2)$ [/mm] liefern Dir dann die behauptete Formel für die Substitution.
Was heißt das in der Praxis? In der Praxis bedeutet das:
Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals mit der Substitution (sofern alle Voraussetzungen wie oben gegeben sind), ist zu beachten, dass die Integralgrenzen mitsubstituiert werden.
Machen wir es mal an einem Beispiel klar:
Zu berechnen sei
[mm] $$\int_1^5 (1+\sin(x))^4*3\cos(x)\,\text{d}x\,.$$
[/mm]
Hier kann man [mm] $f(\varphi):=\varphi^4$ [/mm] und [mm] $\varphi(x):=1+\sin(x)$ [/mm] definieren, und dann erkennst Du mit [mm] $z:=\varphi(x)$
[/mm]
[mm] $$(\star_3)\;\;\;\int_1^5 (1+\sin(x))^4*3\cos(x)\,\text{d}x=3*\int_1^5 \underbrace{(1+\sin(x))^4}_{=f(\varphi(x))}\underbrace{\cos(x)}_{=\varphi'(x)}\,\text{d}x=3*\int_{\varphi(1)}^{\varphi(5)} f'(\varphi(x))*\varphi'(x)\,\text{d}x=3*\int_{1+\sin(1)}^{1+\sin(5)} f(z)\,\text{d}z.$$
[/mm]
Mit [mm] $\int f(z)\,\text{d}z=\int z^4\,\text{d}z=\frac{z^5}{5}$ [/mm] kannst Du nun das letztstehende und damit auch das Ausgangsintegral ausrechnen. (Das wäre hier eine 'praktische' Bedeutung: Durch die Substitution gelangt man zu einer sehr einfach zu integrierenden Funktion.
Eine Bemerkung dazu: Je nach Definition ist [mm] $\int [/mm] f$ eine ganze Klasse von Stammfunktionen zu [mm] $f\,,$ [/mm] aber eine solche Äquivalenzklasse läßt sich in eindeutiger Weise durch einen Repräsentanten identifizieren. Deshalb erlaube ich es mir oben, [mm] $\int f(z)\,\text{d}z=F(z)$ [/mm] anstatt [mm] $\int f(z)\,\text{d}z=F(z)+c$ [/mm] (mit einer konstanten (Funktion) [mm] $c\,$) [/mm] zu schreiben.)
P.S.:
Solltest Du im Laufe der Zeit immer häufiger merken: "Blöd', bei der Substitutionsregel für Integrale vertue ich mich immer bei den Grenzen..."
so kannst Du dies oft auch umgehen, indem Du einfach unbestimmt integrierst und erst am Ende der so errechneten Stammfunktion dann den HDI benutzt.
Das ginge oben dann so vonstatten:
Zu berechnen ist wieder
[mm] $$\int_1^5 (1+\sin(x))^4*3\cos(x)\,\text{d}x\,.$$
[/mm]
Wir berechnen eine Stammfunktion des Integranden mit der Substitutionsregel, und wenn [mm] $f\,,$ $\varphi$ [/mm] und [mm] $z\,$ [/mm] wie oben seien, ergibt sich i.W. mit der gleichen Rechnung:
[mm] $$\int (1+\sin(x))^4*3\cos(x)\,dx=3*\int f(z)\,\text{d}z=3*\frac{z^5}{5}\,.$$
[/mm]
Damit wäre zwar [mm] $F(z)=3*\frac{z^5}{5}$ [/mm] eine Stammfunktion zu $x [mm] \mapsto (1+\sin(x))^4*3\cos(x)\,,$ [/mm] aber dabei ist zu beachten, dass [mm] $z\,$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $x\,$ [/mm] substituiert wurde. Also ist [mm] $F\,$ [/mm] eine Stammfunktion zu der Ausgangsfunktion, allerdings nicht in der Ausgangsvariablen [mm] $x\,,$ [/mm] sondern in der substitutierten Variablen [mm] $z\,,$ [/mm] welche aber von [mm] $x\,$ [/mm] abhängt.
Worauf ich hinaus will: Man darf die Rücksubstitution nicht vergessen. Damit erhälst Du dann:
Eine Stammfunktion zu $x [mm] \mapsto (1+\sin(x))^4*3\cos(x)$ [/mm] ist gegeben durch $x [mm] \mapsto F(z)=3*\frac{z^5}{5}\;\;(=F(\varphi(x)))\;=3*\frac{\varphi^5(x)}{5}=3*\frac{(1+\sin(x))^5}{5}\,.$
[/mm]
Nach dem HDI gilt folglich
[mm] $$\int_1^5 (1+\sin(x))^4*3\cos(x)\,dx=\left[3*\frac{(1+\sin(x))^5}{5}\right]_{1}^{5}=3*\left[\frac{(1+\sin(x))^5}{5}\right]_{1}^{5}\,.$$
[/mm]
Also genau das Ergebnis, was auch aus [mm] $(\star_3)$ [/mm] ersichtlich ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 So 15.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für eure Hilfe.
Hier habt das echt verdammt gut erklärt.
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