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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das bestimmte Integral:
[mm] \integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{x-1}+x) dx} [/mm] |
Wäre nett, wenn das jemand kurz auf Korrektheit prüfen könnte.
Wie erkenne ich eigentlich pauschal, ob Substituieren oder partiell Integrieren zielbringender ist?
[mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x-1}+x dx}
[/mm]
Substituieren:
u=x-1
[mm] \bruch{du}{dx}=1
[/mm]
du=dx
[mm] \integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{u}+x) du}
[/mm]
[mm] =[{ln(u)+\bruch{1}{2}x^2 dx}]_{2}^{3}
[/mm]
[mm] =[ln(x+1)+\bruch{1}{2}x^2 dx]_{2}^{3}
[/mm]
=3,1931
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Hallo,
> Bestimmen Sie das bestimmte Integral:
>
> [mm]\integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{x-1}+x) dx}[/mm]
>
> Wäre nett, wenn das jemand kurz auf Korrektheit prüfen
> könnte.
Gerne: gleich vorneweg, es ist nicht korrekt, und zwar ist es deine Schreibweise, um die es geht.
> Wie erkenne ich eigentlich pauschal, ob Substituieren oder
> partiell Integrieren zielbringender ist?
Es gibt ja den altbekannten Spruch:
Differenzieren ist handwerk, Integrieren ist Kunst
Es gibt zwar ein paar Standardtypen von Integralen, bei denen die Substitution naheliegt. Dass heißt aber jeweils nicht, dass es nicht anders geht, und es heißt auch nicht, dass es gelingt.
Was du hier vorliegen hast, ist eine lineare Verkettung der Form g(x)=f(ax+b). Wenn du eine Stammfunktion von f kennts, bekommst du das stets mit der Substitution u=ax+b hin, da die Differentiale in diesem Fall ja proportional sind.
Jetzt aber zu deiner Rechnung:
>
> [mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x-1}+x dx}[/mm]
>
> Substituieren:
>
> u=x-1
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=1[/mm]
>
> du=dx
>
Soweit ist alles in Ordnung.
> [mm]\integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{u}+x) du}[/mm]
Das geht jetzt nicht mehr. Entweder ziehst du die Summe auseinander und machst zwei Integrale draus (am besten integriert man in solchen Fällen als Nebenrechnung unbestimmt und berechnet erst hernach das bestimmte Integral). Oder aber du musst das x auch substituieren. Es ist
u=x-1
also
x=u+1
Erst dann kannst du nach u integrieren, was du ja tust, indem du am Ende mit du multiplizierst.
>
> [mm]=[{ln(u)+\bruch{1}{2}x^2 dx}]_{2}^{3}[/mm]
>
> [mm]=[ln(x+1)+\bruch{1}{2}x^2 dx]_{2}^{3}[/mm]
>
> =3,1931
Das Ergebnis ist auch falsch, und hier ist einiges an Schlammassel passiert. zum einen hast du einen Vorzeichenfehler (im Logarithmus steht plötzlich x+1), zum anderen hast du vergessen, die Schranken mitzusubstituieren. Das muss man in jedem Fall tun, auch wenn man rücksubstituiert. Denn sonst steht, selbst bei korrektem Ergebnis, zwischendurch etwas falsches da.
Ich bekomme übrigens [mm] ln(2)+1\approx{1.69} [/mm] heraus.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
> Hallo,
>
> > Bestimmen Sie das bestimmte Integral:
> >
> > [mm]\integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{x-1}+x) dx}[/mm]
> >
> > Wäre nett, wenn das jemand kurz auf Korrektheit prüfen
> > könnte.
>
> Gerne: gleich vorneweg, es ist nicht korrekt, und zwar ist
> es deine Schreibweise, um die es geht.
>
> > Wie erkenne ich eigentlich pauschal, ob Substituieren oder
> > partiell Integrieren zielbringender ist?
>
> Es gibt ja den altbekannten Spruch:
>
> Differenzieren ist handwerk, Integrieren ist Kunst
>
> Es gibt zwar ein paar Standardtypen von Integralen, bei
> denen die Substitution naheliegt. Dass heißt aber jeweils
> nicht, dass es nicht anders geht, und es heißt auch nicht,
> dass es gelingt.
>
> Was du hier vorliegen hast, ist eine lineare Verkettung der
> Form g(x)=f(ax+b). Wenn du eine Stammfunktion von f kennts,
> bekommst du das stets mit der Substitution u=ax+b hin, da
> die Differentiale in diesem Fall ja proportional sind.
>
> Jetzt aber zu deiner Rechnung:
> >
> > [mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x-1}+x dx}[/mm]
> >
> > Substituieren:
> >
> > u=x-1
> >
> > [mm]\bruch{du}{dx}=1[/mm]
> >
> > du=dx
> >
>
> Soweit ist alles in Ordnung.
>
> > [mm]\integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{u}+x) du}[/mm]
>
ja, das klingt super!
[mm]\integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{u}+(u+1)) du}[/mm]
korrekt so?
> Das geht jetzt nicht mehr. Entweder ziehst du die Summe
> auseinander und machst zwei Integrale draus (am besten
> integriert man in solchen Fällen als Nebenrechnung
> unbestimmt und berechnet erst hernach das bestimmte
> Integral). Oder aber du musst das x auch substituieren. Es
> ist
>
> u=x-1
>
> also
>
> x=u+1
>
> Erst dann kannst du nach u integrieren, was du ja tust,
> indem du am Ende mit du multiplizierst.
>
[mm]=[{ln(u)+\bruch{1}{2}(u+1)^2 dx}]_{2}^{3}[/mm]
[mm]=[ln(x+1)+\bruch{1}{2}x^2 dx]_{2}^{3}[/mm]
?
> > =3,1931
>
> Das Ergebnis ist auch falsch, und hier ist einiges an
> Schlammassel passiert. zum einen hast du einen
> Vorzeichenfehler (im Logarithmus steht plötzlich x+1), zum
> anderen hast du vergessen, die Schranken
> mitzusubstituieren. Das muss man in jedem Fall tun, auch
> wenn man rücksubstituiert. Denn sonst steht, selbst bei
> korrektem Ergebnis, zwischendurch etwas falsches da.
>
> Ich bekomme übrigens [mm]ln(2)+1\approx{1.69}[/mm] heraus.
hmm, dennoch bekomme ich das 3,1931 heraus
((ln(2)+4,5)-(ln(1)+2))
=3,1931
> Gruß, Diophant
>
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Hallo Tony,
> > > Bestimmen Sie das bestimmte Integral:
> > >
> > > [mm]\integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{x-1}+x) dx}[/mm]
> > Jetzt aber zu deiner Rechnung:
> > >
> > > [mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x-1}+x dx}[/mm]
> > >
> > > Substituieren:
> > >
> > > u=x-1
> > >
> > > [mm]\bruch{du}{dx}=1[/mm]
> > >
> > > du=dx
> > >
> >
> > Soweit ist alles in Ordnung.
> >
> > > [mm]\integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{u}+x) du}[/mm]
> >
>
> ja, das klingt super!
>
> [mm]\integral_{2}^{3}{(\bruch{1}{u}+(u+1)) du}[/mm]
>
> korrekt so?
Nein. Du musst auch die Grenzen substituieren, wie schon gesagt.
Vorher "lief" das Integral in x von 2 bis 3. Also "läuft" es in u nun von 1 bis 2, denn u=x-1.
> [mm]=[{ln(u)+\bruch{1}{2}(u+1)^2 dx}]_{2}^{3}[/mm]
>
> [mm]=[ln(x+1)+\bruch{1}{2}x^2 dx]_{2}^{3}[/mm]
Hier sind nicht nur die Grenzen falsch, sondern auch die Integration von u+1 du. Das heißt, nicht eigentlich falsch: das ergibt [mm] \tfrac{1}{2}u^2+u+C, [/mm] wobei das C bei der bestimmten Integration ja wieder wegfällt. Gewöhn Dir aber nicht an, so vorzugehen wie oben, da steckt immer eine latente Fehlerquelle drin. Geh lieber Summand für Summand vor. Im Moment ist jedenfalls beim bestimmten Integral das Ergebnis das gleiche wie bei Deiner Fassung.
> > Ich bekomme übrigens [mm]ln(2)+1\approx{1.69}[/mm] heraus.
>
> hmm, dennoch bekomme ich das 3,1931 heraus
>
> ((ln(2)+4,5)-(ln(1)+2))
>
> =3,1931
Tja, falsche Integrationsgrenzen eben.
Grüße
reverend
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