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Integration gebr. Fkt.: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mi 22.02.2006
Autor: Tevulytis

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{\bruch{36x}{(x^{2}+1)^{2}} dx} [/mm]


Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Also, ich habe versucht durch [mm] u = x^{2} + 1 [/mm] zu substituieren (entsprechend wird a nicht mehr 0 sonder a = 1 und b nicht mehr [mm] \wurzel{3} [/mm] sondern b = 4), aber das Problem bei mir ist, dass dann im Zähler von der [mm] u = x^{2} + 1 [/mm] eine Wurzel entsteht: [mm] x = \wurzel{u - 1} [/mm] und unten im Zähler [mm] u^{2}. [/mm]
Wie geht man dann vor? Mann kann doch [mm] u^{2} [/mm] in den Zähler verschieben (wird es zum [mm] u^{-2}). [/mm] Es sieht so aus, dass man dann Stammfunktion mit Produktregel (?!) bilden soll...
Oder kann man irgendwie anders substituieren..?
Bitte um Hinweise.

Bin sehr dankbar für Hilfe.

Viele Grüße
Emilis (Tevulytis)
        
Bezug
Integration gebr. Fkt.: dx durch du ersetzen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mi 22.02.2006
Autor: Loddar

Hallo Emilis!


Deine Idee mit der Substitution $u \ := \ [mm] x^2+1$ [/mm] ist goldrichtig! [ok]

Allerdings musst Du bei dem Ausgangsintegral auch das Differential [mm] $d\red{x}$ [/mm] durch ein [mm] $d\blue{u}$ [/mm] ersetzen:

$u' \ = \ [mm] \bruch{d\blue{u}}{d\red{x}} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ x^2+1 \ \right)' [/mm] \ = \ 2x$     [mm] $\gdw$ $d\red{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{d\blue{u}}{2x}$ [/mm]


Setzen wir das nun mal in unsere Ausgangsintegral ein:

[mm] $\integral_{x=0}^{x=\wurzel{3}}{\bruch{36x}{\left(x^2+1\right)^2} \ d\red{x}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{u=1}^{u=4}{\bruch{36x}{\blue{u}^2} \ \bruch{d\blue{u}}{2x}}$ [/mm]


Nun kannst Du $2x_$ kürzen und das Integral gemäß MBPotenzregel ermitteln ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Integration gebr. Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:12 Do 23.02.2006
Autor: Tevulytis

Hallo,

Jetzt ist alles klar! Ich habe eigentlich dx durch du/2x ersetzt, nur dachte, dass man x im Zähler auch substituieren soll und somit hab die Kürzung nicht bemerkt. Wenn du noch die Antwort überprüfen könntest: S = 23,5 FE ?
Herzlichen Dank.

Viele Grüße
Emilis
Bezug
                        
Bezug
Integration gebr. Fkt.: Schreibfehler?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Do 23.02.2006
Autor: Loddar

Hallo Emilis!


Hast Du Dich hier vertippt? Ich habe erhalten: $I \ = \ [mm] \red{1}3.5$ [/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Integration gebr. Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:01 Fr 24.02.2006
Autor: Tevulytis

Hallo,

Genau, ich hab mich vertippt... I = 13,5 :-).
Danke.

Gruß
Emilis
Bezug
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