Integration mit Fubini < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \integral_{M}^{ } [/mm] f(x,y)dxdy für:
(a) M = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}: x\ge0, y\ge0, x+y\le1 [/mm] }, f(x,y) = [mm] x^{2}y^{3}
[/mm]
(b) M = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}: x\ge0, y\ge0, x^{2} +y^{2}\le2 [/mm] }, f(x,y) = [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] |
Ich weiß eigentlich genau, wie ich das rechnen muss, bloß ist mir nicht klar, wie ich die Integralgrenzen wählen muss.
Wären x und y z.B. so begrenzt: [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] y [mm] \le1 [/mm]
dann wüsste ich, dass der Lösungsweg für (a) so ist:
[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}x^{2}y^{3}dx)dy
[/mm]
So wie M bei (a) und (b) gewählt ist, weiß ich das leider nicht! Vielleicht kann mir ja jemand diesen Ansatz geben? Das wäre wirklich total nett :)
|
|
| |
|
> Berechnen Sie [mm]\integral_{M}^{ } f(x,y)dx dy[/mm] für:
>
> (a) [mm]M = \{(x,y) \in \IR^{2}: x\ge0, y\ge0, x+y\le1\}, f(x,y) = x^{2}y^{3}[/mm]
> (b) [mm] M = \{(x,y) \in \IR^{2}: x\ge0, y\ge0, x^{2} +y^{2}\le 2 \}, f(x,y) = x^{2}+y^{2}[/mm]
> Ich weiß eigentlich genau, wie ich das rechnen muss, bloß
> ist mir nicht klar, wie ich die Integralgrenzen wählen
> muss.
>
> Wären x und y z.B. so begrenzt: [mm]0\le[/mm] x [mm]\le[/mm] y [mm]\le1[/mm]
> dann wüsste ich, dass der Lösungsweg für (a) so ist:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}x^{2}y^{3}dx)dy[/mm]
>
> So wie M bei (a) und (b) gewählt ist, weiß ich das leider
> nicht! Vielleicht kann mir ja jemand diesen Ansatz geben?
(a) Hast Du versucht $M$ zu skizzieren? Es handelt sich um ein begrenztes Gebiet: auch wenn dies aus der Definition von $M$ nicht so unmittelbar ablesbar ist, wie Du dies gerne hättest. Wählst Du etwa $y$ als Integrationsvariable für das äussere Integral, dann muss jedenfalls $0$ die untere Grenze sein. Wegen [mm] $0\leq [/mm] x$ und [mm] $x+y\leq [/mm] 1$ d.h. [mm] $y\leq [/mm] 1-x$, kann $y$ nicht grösser als $1$ werden. Also ist $1$ die obere Grenze für das äussere Integral.
Ist [mm] $y\in [/mm] [0;1]$ durch das äussere Integral gewählt, dann muss [mm] $0\leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] 1-y$ sein. Damit hätte man, meiner Meinung nach, folgendes:
[mm]\int_0^1 \int_0^{1-y}x^2y^3\; dx\; dy[/mm]
Aber natürlich könnte man auch die Reihenfolge der Integrale vertauschen. Das gäbe dann, aufgrund einer völlig analogen Überlegung,
[mm]\int_0^1 \int_0^{1-x} x^2y^3\;dy \; dx[/mm]
|
|
|
| |
|
Vielen Dank. Ich hatte mir auch überlegt, ob es vielleicht so geht und das mit dem Vertauschen ist natürlich klar.
|
|
|
| |
|
> Berechnen Sie [mm]\integral_{M}^{ } f(x,y)dxdy [/mm] für:
>
> (a) [mm]M = \{(x,y) \in \IR^{2}: x\ge0, y\ge0, x+y\le1 \}, f(x,y) = x^{2}y^{3}[/mm]
> (b) [mm] M = \{(x,y) \in \IR^{2}: x\ge0, y\ge0, x^{2} +y^{2}\le2 \}, f(x,y) = x^{2}+y^{2}[/mm]
> Ich weiß eigentlich genau, wie ich das rechnen muss, bloß
> ist mir nicht klar, wie ich die Integralgrenzen wählen
> muss.
Zu (b): Die Bedingung [mm]x^2+y^2\leq 2[/mm] beschränkt [mm](x,y)[/mm] auf die abgeschlossene Kreisscheibe [mm]k(Z,r)[/mm] mit Radius [mm]\sqrt{2}[/mm] und Zentrum [mm]Z=(0,0)[/mm]. Die beiden weiteren Bedingungen, [mm]x,y\geq 0[/mm] beschränken [mm](x,y)[/mm] auf den Viertel [mm]M[/mm] von [mm]k(Z,r)[/mm] der im ersten Quadranten liegt. Wählst Du [mm]x[/mm] als Integrationsvariable des äusseren Integrals, dann kann also [mm]x[/mm] von [mm]0[/mm] bis [mm]\sqrt{2}[/mm] variieren. Ist [mm]x[/mm] durch das äussere Integral festgelegt, dann kann [mm]y[/mm] noch im Bereich [mm]0[/mm] bis [mm]\sqrt{2-x^2}[/mm] variieren. Damit hätte man also folgendes
[mm]\int_0^{\sqrt{2}} \int_0^{\sqrt{2-x^2}}(x^2+y^2)\; dy\; dx[/mm]
Und völlig analog bei umgekehrter Integrationsreihenfolge:
[mm]\int_0^{\sqrt{2}} \int_0^{\sqrt{2-y^2}}(x^2+y^2)\; dx\; dy[/mm]
Eventuell würde man hier zu Polarkoordinaten übergehen wollen.
|
|
|
| |
|
Dankeschön! Das war echt meine Rettung! Bei (b) war ich mir unsicher, wie die Grenzen des äußeren Integrals zu wählen sind. Dann werde ich die beiden jetzt mal lösen :D
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Berechne: [mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}}(\integral_{0}^{\wurzel{2-y^2}} (x^2 [/mm] + [mm] y^2)dx) [/mm] dy |
Ich habe jetzt versucht dieses Integral zu berechnen und bin bisher so weit gekommen, aber weiter komme ich dann nicht (habe es mit Substitution versucht vielleicht sollte man besser anders substituieren?):
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}}(\integral_{0}^{\wurzel{2-y^2}} (x^2 [/mm] + [mm] y^2)dx) [/mm] dy =
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}} [\bruch{x^3}{3} [/mm] + [mm] y^2 [/mm] x], 0, [mm] {\wurzel{2-y^2}} [/mm] dy =
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{{\wurzel{2-y^2}}}{3}+ y^2{\wurzel{2-y^2}}dy [/mm] = ?
Dann habe ich substituiert: z = [mm] {\wurzel{2-y^2}}
[/mm]
neue Integrationsgrenzen: für 0 ist [mm] z_{1} [/mm] = [mm] \pm{\wurzel{2}}
[/mm]
für [mm] {\wurzel{2}} [/mm] ist [mm] z_{2} [/mm] = 0
z = [mm] {\wurzel{2-y^2}} \gdw [/mm]
[mm] z^2 [/mm] = [mm] {2-y^2} \gdw
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] {2-z^2} \gdw
[/mm]
y = [mm] {\wurzel{2-z^2}}
[/mm]
Bestimmt man nun also dy, so müsste man dy = - [mm] \bruch{z}{{\wurzel{2-z^2}}} [/mm] dz erhalten
Nun ist aber das Problem, dass man ja dann beim weiteren Integrieren wieder eine Wurzel drin hat.
Gibt es eine andere Möglichkeit dieses Integral zu berechnen bzw. eine Vereinfachung? Oder habe ich mich verrechnet?
|
|
|
| |
|
> Berechne:
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}}(\integral_{0}^{\wurzel{2-y^2}} (x^2[/mm]
> + [mm]y^2)dx)[/mm] dy
> Ich habe jetzt versucht dieses Integral zu berechnen und
> bin bisher so weit gekommen, aber weiter komme ich dann
> nicht (habe es mit Substitution versucht vielleicht sollte
> man besser anders substituieren?):
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}}(\integral_{0}^{\wurzel{2-y^2}} (x^2[/mm]
> + [mm]y^2)dx)[/mm] dy =
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}} [\bruch{x^3}{3}[/mm] + [mm]y^2[/mm] x], 0,
> [mm]{\wurzel{2-y^2}}[/mm] dy =
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{{\wurzel{2-y^2}}}{3}+ y^2{\wurzel{2-y^2}}dy[/mm]
> = ?
>
> Dann habe ich substituiert: z = [mm]{\wurzel{2-y^2}}[/mm]
> neue Integrationsgrenzen: für 0 ist [mm]z_{1}[/mm] =
> [mm]\pm{\wurzel{2}}[/mm]
> für
> [mm]{\wurzel{2}}[/mm] ist [mm]z_{2}[/mm] = 0
>
> z = [mm]{\wurzel{2-y^2}} \gdw[/mm]
> [mm]z^2[/mm] = [mm]{2-y^2} \gdw[/mm]
> [mm]y^2[/mm] = [mm]{2-z^2} \gdw[/mm]
> y =
> [mm]{\wurzel{2-z^2}}[/mm]
>
> Bestimmt man nun also dy, so müsste man dy = -
> [mm]\bruch{z}{{\wurzel{2-z^2}}}[/mm] dz erhalten
>
> Nun ist aber das Problem, dass man ja dann beim weiteren
> Integrieren wieder eine Wurzel drin hat.
>
> Gibt es eine andere Möglichkeit dieses Integral zu
> berechnen bzw. eine Vereinfachung? Oder habe ich mich
> verrechnet?
Ich habe in meiner ersten Antwort zu (b) bemerkt, dass man eventuell zu Polarkoordinaten [mm] $r,\varphi$ [/mm] übergehen möchte (war aber nicht sicher, ob Du dies darfst). In diesem Falle ist [mm] $M=\{(x,y)\mid x=r\cos(\varphi),y=r\sin(\varphi), 0\leq r \leq \sqrt{2}, 0\leq \varphi\leq \pi/2\}$ [/mm] und das Flächenelement $dx dy$ lautet in Polarkoordinaten $r [mm] d\varphi\; [/mm] dr$. Damit erhalten wir
[mm]\int_0^{\sqrt{2}}\int_0^{\pi/2}r^2\; r\; d\varphi\; dr[/mm]
Dieses Doppelintegral zu berechnen dürfte um einiges einfacher sein.
|
|
|
| |
|
Leider sind mir Polarkoordinaten nicht geläufig - ich werde aber mal gucken, ob ich etwas dazu finde. Wenn vielleicht doch jemand eine Möglichkeit sieht, dieses Integral anders zu lösen, wäre das sehr schön.
Ich weiß nicht, ob ich mit Polarkoordinaten rechnen darf, dazu gab es keine Angaben...
|
|
|
| |
|
> Berechne:
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}}(\integral_{0}^{\wurzel{2-y^2}} (x^2[/mm]
> + [mm]y^2)dx)[/mm] dy
> Ich habe jetzt versucht dieses Integral zu berechnen und
> bin bisher so weit gekommen, aber weiter komme ich dann
> nicht (habe es mit Substitution versucht vielleicht sollte
> man besser anders substituieren?):
Du hast ja gesehen, dass der Übergang zu Polarkoordinaten das Doppelintegral auf eine sehr einfache Form gebracht hat. - Also? - Also: siehe unten.
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}}(\integral_{0}^{\wurzel{2-y^2}} (x^2 + y^2)dx)dy = [/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}} [\bruch{x^3}{3} + y^2 x], 0, {\wurzel{2-y^2}} dy = [/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{{\wurzel{2-y^2}}}{3}+ y^2{\wurzel{2-y^2}}dy[/mm]
> = ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast den Exponenten $3$ bei [mm] $x^3$ [/mm] fallenlassen. An diesem Punkt müsstest Du folgendes haben:
[mm]\int_0^{\sqrt{2}}\Big(\frac{(2-y^2)^{3/2}}{3}+\sqrt{2-y^2}y^2\Big)\; dy = \ldots = \frac{2}{3}\cdot \int_0^{\sqrt{2}} (1+y^2)\sqrt{2-y^2} \;dy[/mm]
> Nun ist aber das Problem, dass man ja dann beim weiteren
> Integrieren wieder eine Wurzel drin hat.
>
> Gibt es eine andere Möglichkeit dieses Integral zu
> berechnen bzw. eine Vereinfachung?
Da das Integral in Polarkoordinaten so leicht zu berechnen ist, verwendet man wohl mit Vorteil die Substitution [mm] $y=\sqrt{2}\sin(\varphi)$, [/mm] mit [mm] $\varphi\in [0;\pi/2]$. [/mm] Dann ist [mm] $dy=\sqrt{2}\cos(\varphi)\;d\varphi$, [/mm] was, wegen [mm] $\sqrt{2-y^2}=\ldots =\sqrt{2}\cos(\varphi)$ [/mm] eine brauchbare Substitution ergeben dürfte. (Das Ergebnis sollte [mm] $\pi/2$ [/mm] sein.)
Nachtrag: im Detail erhalte ich auf diesem Weg
[mm]\begin{array}{clcll}
\text{(1)} & \int_0^{\sqrt{2}}\Big(\frac{(2-y^2)^{3/2}}{3}+\sqrt{2-y^2}y^2\Big)\; dy &=& \frac{2}{3}\cdot \int_0^{\sqrt{2}} (1+y^2)\sqrt{2-y^2} \;dy\\[.3cm]
\text{(2)} & &=& \frac{2}{3}\cdot \int_0^{\pi/2}\Big(1+2\sin^2(\varphi)\Big)\cdot 2\cos^2(\varphi)\;d\varphi\\[.3cm]
\text{(3)} & &=& \frac{4}{3}\cdot\int_0^{\pi/2} \cos^2(\varphi)\;d\varphi\;+\;\frac{1}{3} \int_0^{\pi/2}\sin^2(2\varphi)\cdot 2d\varphi\\[.3cm]
\text{(4)} & &=& \int_0^{\pi/2}\cos^2(\varphi)\;d\varphi\;+\;\frac{1}{3}\int_0^{\pi} \sin^2(\psi)\;d\psi\\[.3cm]
\text{(5)} & &=& \frac{\pi}{3}\;+\;\frac{\pi}{6}\\[.3cm]
\text{(6)} & &=& \frac{\pi}{2}
\end{array}[/mm]
|
|
|
| |
|
Dankeschön! Das drucke ich mir jetzt aus und gucke es ganz genau an!
Die dritte Potenz beim x hatte ich nur hier vergessen, auf meinem Blatt habe ich die aber 
Ich glaube, jetzt habe ich's aber verstanden mit dne Polarkoordinaten!
Danke für deine viele Mühe!
|
|
|
|
