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Forum "Integration" - Integration mit Subst.regel
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Integration mit Subst.regel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 So 15.01.2006
Autor: smee

Aufgabe
[mm] \int~\frac{1+e^x}{1-e^x}~dx [/mm]

Hallo allerseits! :-)

Wir sollen obige Aufgabe mit der Substitutionsregel lösen. Das habe ich auch soweit hinbekommen (dachte ich zumindest), und als Ergebnis hatte ich:

[tex]x + 2*log(|1-e^x|)[/tex]

Dabei habe ich zuerst den Bruch "erweitert" (im Zähler [mm] 2e^x [/mm] - [mm] e^x [/mm] für [mm] e^x), [/mm] dann [mm] e^x [/mm] durch z substituiert ...

Nun hat allerdings der schlaue Integrator von Wolfram (http://integrals.wolfram.com/index.jsp) etwas anderes raus, nämlich:

[tex]x - 2*log (e^x-1)[/tex]

Ist der vielleicht doch nicht so schlau (kann ich mir kaum vorstellen), oder habe ich mich irgendwo vertan (das schon eher ;-))?

Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Gruß,
Carsten

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integration mit Subst.regel: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 So 15.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Carsten,

[willkommenmr] !!


Es geht ja lediglich um das Vorzeichen vor dem Logarithmus. Denn das Argument bleibt ja gleich, da [mm] $\left| \ 1-e^x \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ e^x-1 \ \right|$ [/mm] .


Vor dem eigentlichen Integrieren sollte man die Funktion folgendermaßen umformen (und dann siehst Du auch, wo das Minuszeichen herkommt):

[mm] $\bruch{1+e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+e^x-2*e^x+2*e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-e^x+2*e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-e^x}{1-e^x}+\bruch{2*e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ [mm] 1+2*\bruch{e^x}{1-e^x} [/mm] \ = \ 1 \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] 2*\bruch{\red{-}e^x}{1-e^x}$ [/mm]


Nun haben wir einen Ausdruck, bei dem im Zähler exakt die Ableitung des Nenners steht. Also substituiere: $z \ := \ [mm] \text{Nenner} [/mm] \ = \ [mm] 1-e^x$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Integration mit Subst.regel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:52 So 15.01.2006
Autor: smee

>Nun haben wir einen Ausdruck, bei dem im Zähler exakt die Ableitung des Nenners steht.

Diese Möglichkeit habe ich natürlich übersehen ... aber jetzt ist alles klar!

Vielen Dank!

:-)


Bezug
        
Bezug
Integration mit Subst.regel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 So 15.01.2006
Autor: Leopold_Gast

Vielleicht noch Folgendes zur Ergänzung von Loddars Beitrag.

Unbestimmte Integrale kann man sinnvollerweise nur über Intervallen betrachten. Jetzt beachte, daß der Nenner des Integranden für [mm]x=0[/mm] verschwindet. Die Aufgabe müßte also eigentlich lauten:

Bestimme [mm]\int \ldots[/mm] für [mm]x>0[/mm] und bestimme [mm]\int \ldots[/mm] für [mm]x<0[/mm].

Und der Superintegrator von Wolfram unterschlägt den zweiten Fall. Deine Formel dagegen gilt sowohl im ersten als auch im zweiten Intervall, wenn man sie wie üblich so auffaßt, daß noch eine beliebige Konstante addiert werden darf. Allerdings werden durch deine Formel nicht alle Stammfunktionen auf [mm]\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}[/mm] erfaßt, da man auf jedem Teilintervall des Definitionsbereichs eine eigene Integrationskonstante wählen kann.

Bezug
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