Integration mit Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 29.11.2008 | | Autor: | newday |
| Aufgabe | Integriere ohne Ausmultiplizieren:
[mm] \integral{(3x+1)^4 dx}= [/mm] |
Ich denke mal man soll die Substitutionsmethode anwenden, habe aber meine Schwierigkeiten damit?
[mm] \integral{(3x+1)^4 dx}=
[/mm]
[mm] \integral{(u)^4 dx}=
[/mm]
u=3x+1
u'=3
du/dx=3
dx=3/du
[mm] \integral{(u)^4 du}=\bruch{u^5}{5}
[/mm]
Wie kommt es aber dass nun du/dx=3? Sollte es nicht (3x+1)' = 3 sein? Was hat das mit du zu tun? Verstehe auch nicht was du/dy sein soll? 2 Differentiale dividiert durcheinander? Warum denn das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Sa 29.11.2008 | | Autor: | newday |
ich meinte natürlich du/dx nicht du/dy.
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Hallo newday,
> Integriere ohne Ausmultiplizieren:
>
> [mm]\integral{(3x+1)^4 dx}=[/mm]
> Ich denke mal man soll die
> Substitutionsmethode anwenden, habe aber meine
> Schwierigkeiten damit?
>
> [mm]\integral{(3x+1)^4 dx}=[/mm]
> [mm]\integral{(u)^4 dx}=[/mm]
>
> u=3x+1
> u'=3
>
> du/dx=3 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dx=3/du ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ui, das ist doch [mm] $dx=\frac{du}{3}$
[/mm]
>
> [mm]\integral{(u)^4 du}=\bruch{u^5}{5}[/mm]
Nein, du bekommst nach der Substitution das Integral [mm] $\int{u^4 \ \frac{du}{3}}=\frac{1}{3}\cdot{}\int{u^4 \ du}$
[/mm]
>
> Wie kommt es aber dass nun du/dx=3? Sollte es nicht (3x+1)'
> = 3 sein? Was hat das mit du zu tun?
Du hast substituiert mit einer Funktion $u=u(x)=3x+1$
Also ist [mm] $u'=u'(x)=\frac{du}{dx}=(3x+1)'=3$
[/mm]
> Verstehe auch nicht
> was du/dy sein soll? 2 Differentiale dividiert
> durcheinander? Warum denn das?
Das ist nur eine Schreibweise mit [mm] $\frac{du}{dy}$ [/mm] bezeichnest du die Ableitung der Funktion u nach der Variable y, du hast also eine Funktion $u(y)$ und leitest die ab: $u'(y)$, das schreibt man leger als [mm] $\frac{du}{dy}$, [/mm] dann kann man damit bequem rechnen.
Entsprechend wie oben mit der Substitutionsfunktion $u(x)$ ist [mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=3$, [/mm] also [mm] $\cdot{}dx$ [/mm] und [mm] $\cdot{}\frac{1}{3}$ [/mm] liefert
[mm] $dx=\frac{du}{3}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 29.11.2008 | | Autor: | newday |
Achso, d.h.:
zum Beispiel:
[mm] f(x)=3x^2
[/mm]
df/dx=6x
f'(x) = df/dx
[mm] \integral{(3x+1)^4 dx}=
[/mm]
u(x)=3x+1
du/dx=u'(x)=3
dx=du/3
[mm] \integral{u^4 du/3}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\integral{u^4 du}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\bruch{u^5}{5}=\bruch{(3x+1)^5}{15}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 29.11.2008 | | Autor: | newday |
Danke dir!
Jetz hab ich noch ein anderes Bsp. wo das ganze ein bisschen komplexer wird:
[mm] \integral_{4}^{9}{\bruch{dx}{1+\wurzel{x}}}
[/mm]
Also wieder so:
[mm] u=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] u^2=x
[/mm]
dx/du=2u -> dx=2u*du
[mm] \integral_{4}^{9}{\bruch{2u}{1+u}}*du=
[/mm]
[mm] =\bruch{2u^2}{2*(1+u^2/2)}=\bruch{4u^2}{8u^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4*9^2}{8*9^2}-\bruch{4*4^2}{8*4^2}=0
[/mm]
Was hab ich denn hier schon wieder versemmelt? Darf man das so nicht rechnen? :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Sa 29.11.2008 | | Autor: | newday |
Ok, ich sehe gerade in der Formelsammlung:
[mm] \integral{1/f(x) dx}= [/mm] 1*ln(f(x))
muss ich also so rechnen?:
[mm] \integral_{9}^{4}{\bruch{2u}{(1+u)} du}=2u*ln(1+u) [/mm] | "von 9 bis 4"
Kommt aber auch nicht ganz das richtige raus ? was mach ich denn hier noch falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Sa 29.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo newday,
> Ok, ich sehe gerade in der Formelsammlung:
>
> [mm]\integral{1/f(x) dx}=[/mm] 1*ln(f(x))
>
>
> muss ich also so rechnen?:
>
> [mm]\integral_{9}^{4}{\bruch{2u}{(1+u)} du}=2u*ln(1+u)[/mm] | "von 9
> bis 4"
>
>
> Kommt aber auch nicht ganz das richtige raus ? was mach ich
> denn hier noch falsch?
Zerlege erstmal wie folgt:
[mm]\bruch{2u}{1+u}=\bruch{2*\left(1+u\right)-2}{1+u}=2-\bruch{2}{1+u}[/mm]
Dann ist
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2u}{1+u} \ du}=\integral_{}^{}{2 \ du}-2\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+u} \ du}[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo newday,
> Danke dir!
>
> Jetz hab ich noch ein anderes Bsp. wo das ganze ein
> bisschen komplexer wird:
>
> [mm]\integral_{4}^{9}{\bruch{dx}{1+\wurzel{x}}}[/mm]
>
> Also wieder so:
>
> [mm]u=\wurzel{x}[/mm]
> [mm]u^2=x[/mm]
>
> dx/du=2u -> dx=2u*du
>
>
> [mm]\integral_{4}^{9}{\bruch{2u}{1+u}}*du=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2u^2}{2*(1+u^2/2)}=\bruch{4u^2}{8u^2}[/mm]
> [mm]=\bruch{4*9^2}{8*9^2}-\bruch{4*4^2}{8*4^2}=0[/mm]
> Lösung [mm]x\left(t\right)[/mm]
> Was hab ich denn hier schon wieder versemmelt? Darf man das
> so nicht rechnen? :(
>
Die Stammfunktion stimmt nicht.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Sa 29.11.2008 | | Autor: | newday |
Sehe ich auch gerade, nur wie bildet man sie richtig von so einem Bruch? 2u*ln(1+u) ? Stimmt aber auch nicht?
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Hallo newday,
> Sehe ich auch gerade, nur wie bildet man sie richtig von so
> einem Bruch? 2u*ln(1+u) ? Stimmt aber auch nicht?
Nee, das stimmt auch nicht.
Wie man sie richtig bildet, habe ich hier geschrieben.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Sa 29.11.2008 | | Autor: | newday |
sry, hab ich nicht mehr gesehen ;) thx
Das Ergebniss stimmt mit der Lösung überein *freu*
Nur wie kommst du auf:
[mm] =\bruch{2\cdot{}\left(1+u\right)-2}{1+u}=2-\bruch{2}{1+u}
[/mm]
sieht nicht äquivalent aus, aber genial...
sollte es nicht so heißen?
[mm] \bruch{2u}{1+u}=\bruch{2\cdot{}\left(1+u\right)-2}{1+u}=\bruch{2}{1+u}-2
[/mm]
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Hallo newday,
> sry, hab ich nicht mehr gesehen ;) thx
>
> Das Ergebniss stimmt mit der Lösung überein *freu*
>
> Nur wie kommst du auf:
>
> [mm]=\bruch{2\cdot{}\left(1+u\right)-2}{1+u}=2-\bruch{2}{1+u}[/mm]
In dem ich eine Polynomdivision gemacht habe.
>
> sieht nicht äquivalent aus, aber genial...
>
> sollte es nicht so heißen?
>
> [mm]\bruch{2u}{1+u}=\bruch{2\cdot{}\left(1+u\right)-2}{1+u}=\bruch{2}{1+u}-2[/mm]
>
>
Nein, da [mm]\left(-2\right)*u \not=2u[/mm]
Gruß
MathePower
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
