Integration von [1/(4x-3)] < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Di 01.12.2009 | | Autor: | mathey |
| Aufgabe | | Bestimme eine Stammfunktion von f(x)=[1/(4x-3)] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe zwei Verfahren gewählt und erhalte zwei unterschiedliche Stammfunktionen, was nicht sein darf. Findet einer den Fehler?
Hinweis: ich benutze bei beiden Verfahren folgende Regel:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)|
[/mm]
Verfahren 1):
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4x-3} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}{\bruch{4*\bruch{1}{4}}{4x-3} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\bruch{4}{4x-3} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*ln|4x-3|
[/mm]
Verfahren 2):
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4x-3} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4(x-\bruch{3}{4})} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x-\bruch{3}{4}} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*ln|x-\bruch{3}{4}|
[/mm]
Gleichsetzen beweist:
[mm] \bruch{1}{4}*ln|4x-3|=\bruch{1}{4}*ln|x-\bruch{3}{4}|
[/mm]
[mm] ln|4x-3|=ln|x-\bruch{3}{4}|
[/mm]
[mm] e^{ln|4x-3|}=e^{ln|x-\bruch{3}{4}|}
[/mm]
[mm] |4x-3|=|x-\bruch{3}{4}|
[/mm]
Fallunterscheidung:
Fall 1):
[mm] 4x-3=x-\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] 3x\not=\bruch{9}{4}
[/mm]
Fall 2):
[mm] 4x-3=-(x-\bruch{3}{4})
[/mm]
[mm] 3x\not=\bruch{15}{4}
[/mm]
normalerweise hätte ich das erste Verfahren genutzt, welches auch richtig ist, aber das zweite müsste doch auch legitim sein, führt aber zur falschen Lösung.
Danke schonmal, wenn mir einer weiterhelfen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme eine Stammfunktion von f(x)=[1/(4x-3)]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also ich habe zwei Verfahren gewählt und erhalte zwei
> unterschiedliche Stammfunktionen, was nicht sein darf.
Natürlich darf das sein !
> Findet einer den Fehler?
Nein, weil es keinen gibt !
Ist Dir nicht bekannt, dass für eine Funktion f, welche die Stammfunktion F besitzt, die Funktion F+c wieder eine Stammfunktion von f ist (wobei c [mm] \in \IR)
[/mm]
Zum Beispiel sind [mm] x^2+3 [/mm] und [mm] x^2-123456789 [/mm] Stammfunktionen von 2x
Nun bestimme mal c so, dass
$ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}ln|x-\bruch{3}{4}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*ln|x-\bruch{3}{4}|+c$
[/mm]
ist
FRED
>
> Hinweis: ich benutze bei beiden Verfahren folgende Regel:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)|[/mm]
>
>
>
> Verfahren 1):
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4x-3} dx}[/mm]
Ohne Interationnsgrenzen ! [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{4x-3} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{a}^{b}{\bruch{4*\bruch{1}{4}}{4x-3} dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\bruch{4}{4x-3} dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{4}*ln|4x-3|[/mm]
>
>
>
> Verfahren 2):
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4x-3} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4(x-\bruch{3}{4})} dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x-\bruch{3}{4}} dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{4}*ln|x-\bruch{3}{4}|[/mm]
>
>
>
> Gleichsetzen beweist:
>
> [mm]\bruch{1}{4}*ln|4x-3|=\bruch{1}{4}*ln|x-\bruch{3}{4}|[/mm]
>
> [mm]ln|4x-3|=ln|x-\bruch{3}{4}|[/mm]
>
> [mm]e^{ln|4x-3|}=e^{ln|x-\bruch{3}{4}|}[/mm]
>
> [mm]|4x-3|=|x-\bruch{3}{4}|[/mm]
>
> Fallunterscheidung:
>
> Fall 1):
>
> [mm]4x-3=x-\bruch{3}{4}[/mm]
>
> [mm]3x\not=\bruch{9}{4}[/mm]
>
> Fall 2):
>
> [mm]4x-3=-(x-\bruch{3}{4})[/mm]
>
> [mm]3x\not=\bruch{15}{4}[/mm]
>
> normalerweise hätte ich das erste Verfahren genutzt,
> welches auch richtig ist, aber das zweite müsste doch auch
> legitim sein, führt aber zur falschen Lösung.
>
> Danke schonmal, wenn mir einer weiterhelfen kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mi 02.12.2009 | | Autor: | mathey |
das mit + C war mir schon bewusst, hatte aber vergessen, dass die Argumente des log ja gesplittet von x rationale Zahlen sind, welche dem C gleich kommen. ist mir eben bewusst geworden als ich es mit beispielen getestet habe.
aber wieso darf ich keine integrationsgrenzen beim integrieren angeben, vorallem da ich doch sogar nur mit buchstaben und nicht mit definitiven zahlen arbeite. mir is zwar bewusst, dass man besser ohne integrationsgrenzen arbeiten sollte, vorallem, wenn man substituiert, weil man sonst eben diese grenzen auch substituieren müsste, aber warum sind sie in dieser aufgabe falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mi 02.12.2009 | | Autor: | glie |
> das mit + C war mir schon bewusst, hatte aber vergessen,
> dass die Argumente des log ja gesplittet von x rationale
> Zahlen sind, welche dem C gleich kommen. ist mir eben
> bewusst geworden als ich es mit beispielen getestet habe.
>
> aber wieso darf ich keine integrationsgrenzen beim
> integrieren angeben, vorallem da ich doch sogar nur mit
> buchstaben und nicht mit definitiven zahlen arbeite. mir is
> zwar bewusst, dass man besser ohne integrationsgrenzen
> arbeiten sollte, vorallem, wenn man substituiert, weil man
> sonst eben diese grenzen auch substituieren müsste, aber
> warum sind sie in dieser aufgabe falsch?
Hallo,
ich seh immer noch nicht, was genau dein Problem jetzt ist, und wo du siehst, dass etwas falsch läuft.
Fred hat es doch wunderbar erklärt.
Ein bestimmtes Integral kannst du doch mit jeder beliebigen Stammfunktion berechnen.
Einfaches Beispiel:
[mm] $\int_1^2{x^2dx}$
[/mm]
Nehmen wir als Stammfunktion doch einfach mal [mm] $\bruch{1}{3}x^3$.
[/mm]
Dann ist
[mm] $\int_1^2{x^2dx}=[\bruch{1}{3}x^3]_1^2=\bruch{1}{3}*2^3-\bruch{1}{3}*1^3=\bruch{7}{3}$
[/mm]
So und jetzt nehmen wir als Stammfunktion [mm] $\bruch{1}{3}x^3+2009$
[/mm]
Dann ist
[mm] $\int_1^2{x^2dx}=[\bruch{1}{3}x^3+2009]_1^2=\bruch{1}{3}*2^3+2009-\bruch{1}{3}*1^3-2009=\bruch{7}{3}$
[/mm]
Diese additive Konstante in der Stammfunktion hebt sich doch heraus, wenn du die Grenzen einsetzt und die Differenz bildest!
Jetzt schau nochmal ganz genau deine beiden Stammfunktionen an.
Du hast einmal [mm] $\bruch{1}{4}ln|4x-3|$
[/mm]
und zum anderen [mm] $\bruch{1}{4}ln|x-\bruch{3}{4}|$
[/mm]
Jetzt forme ich dir mal die zweite Stammfunktion um:
[mm] $\bruch{1}{4}ln|x-\bruch{3}{4}|=\bruch{1}{4}ln|\bruch{4x}{4}-\bruch{3}{4}|=\bruch{1}{4}ln|\bruch{4x-3}{4}|=\bruch{1}{4}*(ln|4x-3|-ln4)=\bruch{1}{4}*ln|4x-3|-\bruch{1}{4}ln4$
[/mm]
Da hast du doch jetzt genau deine erste Stammfunktion mit einer additiven Konstante. Wenn du jetzt Grenzen einsetzt und die Differenz der Stammfunktionswerte bestimmst, dann fliegt doch die additive Konstante [mm] $-\bruch{1}{4}ln4$ [/mm] wieder raus und du erhältst bei beiden Rechnungen das gleiche Ergebnis!
Gruß Glie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> das mit + C war mir schon bewusst, hatte aber vergessen,
> dass die Argumente des log ja gesplittet von x rationale
> Zahlen sind, welche dem C gleich kommen. ist mir eben
> bewusst geworden als ich es mit beispielen getestet habe.
>
> aber wieso darf ich keine integrationsgrenzen beim
> integrieren angeben, vorallem da ich doch sogar nur mit
> buchstaben und nicht mit definitiven zahlen arbeite. mir is
> zwar bewusst, dass man besser ohne integrationsgrenzen
> arbeiten sollte, vorallem, wenn man substituiert, weil man
> sonst eben diese grenzen auch substituieren müsste, aber
> warum sind sie in dieser aufgabe falsch?
In dieser Aufgabe sollst Du eine Stammfunktion von f bestimmen
Das Symbol [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] steht für eine (oder auch alle) Stammfunktion (en) von f. [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] ist also eine Funktion (oder eine Klasse von Funktionen) .
Dagegen ist [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] eine Zahl in [mm] \IR.
[/mm]
FRED
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