Integration von d(xy) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Do 24.09.2009 | | Autor: | clancx |
| Aufgabe | [mm] \integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}=\integral_{A}^{}{xy d(x,y)} [/mm] mit
A = {x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0 bei 1 [mm] \le [/mm] x²+y² [mm] \le [/mm] 2} |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Soweit ich weiß muss man nun ja versuchen das A umzuschreiben, ich hatte folgende Idee: 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{2} [/mm] aber dann krieg ich keine verbindung zu y hin. Was wäre hier der richtige Schritt?
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Hallo clancx,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}=\integral_{A}^{}{xy d(x,y)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> mit
> A = {x [mm]\ge[/mm] 0 und y [mm]\ge[/mm] 0 bei 1 [mm]\le[/mm] x²+y² [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2}
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Soweit ich weiß muss man nun ja versuchen das A
> umzuschreiben, ich hatte folgende Idee: 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \wurzel{2}[/mm]
> aber dann krieg ich keine verbindung zu y hin. Was wäre
> hier der richtige Schritt?
Hier wirst Du nur mit einer Substitution weiterkommen.
Betrachte [mm]x^{2}+y^{2}=r^{2}[/mm]
Dies stellt eine Kreisgleichung dar, deren Parametrisierung ist ja bekannt.
Nun, mußt Du Dir noch über die Grenzen für den Winkel [mm]\varphi[/mm] klar werden.
Grusss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 24.09.2009 | | Autor: | clancx |
hmm ich versuchs mal:
(x,y) = ( r cos [mm] \beta [/mm] , r sin [mm] \beta) [/mm] ist also
A:={(r, [mm] \beta) \varepsilon \IR [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \wurzel{2}, [/mm] 0 [mm] \le \beta \le \pi [/mm] }
wäre dies richtig? ... :o
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Hallo clancx,
> hmm ich versuchs mal:
> (x,y) = ( r cos [mm]\beta[/mm] , r sin [mm]\beta)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist also
> A:={(r, [mm]\beta) \varepsilon \IR[/mm] | 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le \wurzel{2},[/mm]
> 0 [mm]\le \beta \le \pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> wäre dies richtig? ... :o
Das ist nicht ganz richtig.
Nun, die Grenzen von r sind durch
[mm] 1 \le x^{2}+y^{2} \le 2[/mm]
gegeben.
Untersuche jetzt für welche Winkel [mm] \beta[/mm] x größer oder gleich Null ist.
Verfahre ebenso mit y.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 24.09.2009 | | Autor: | clancx |
aah jetzt glaube ich ist der erste Groschen gefallen (hoffe ich):
1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2
dann hätte ich dies innere mit r substituiert?
"Untersuche jetzt für welche Winkel $ [mm] \beta [/mm] $ x größer oder gleich Null ist.
Verfahre ebenso mit y. "
Hmmm [mm] sin(\pi)=0 [/mm] als wäre die grenze doch bei 0 bis [mm] \pi [/mm] für [mm] \beta.
[/mm]
(man man die Analysis, ich kann sie einfach nicht. sonst läuft mathe bei mir eigentlich recht gut)
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Hallo!
> aah jetzt glaube ich ist der erste Groschen gefallen (hoffe
> ich):
>
> 1 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2
> dann hätte ich dies innere mit r substituiert?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
EDIT: Wie richtig bemerkt wurde muss [mm] $\red{1\le r \le \wurzel{2}}$ [/mm] gelten
>
> "Untersuche jetzt für welche Winkel [mm]\beta[/mm] x größer oder
> gleich Null ist.
> Verfahre ebenso mit y. "
> Hmmm [mm]sin(\pi)=0[/mm] als wäre die grenze doch bei 0 bis [mm]\pi[/mm]
> für [mm]\beta.[/mm]
>
Bei einem Vollkreis läuft der Polarwinkel doch von 0 bis [mm] 2\pi. $x,y\ge [/mm] 0$ bedeutet doch einen Viertelkreis. Also...?
> (man man die Analysis, ich kann sie einfach nicht. sonst
> läuft mathe bei mir eigentlich recht gut)
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Do 24.09.2009 | | Autor: | clancx |
Alsoooo:
1 $ [mm] \le [/mm] $ r $ [mm] \le [/mm] $ 2 und 0 $ [mm] \le [/mm] $ [mm] \beta [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Stimmt dies?
Dann rechne ich weiter...
schon jetzt mal vielen lieben dank..
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Hallo clancx,
> Alsoooo:
> 1 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2 und 0 [mm]\le[/mm] [mm]\beta[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Stimmt dies? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo!
> Dann rechne ich weiter...
Ja, tu das ...
> schon jetzt mal vielen lieben dank..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Do 24.09.2009 | | Autor: | clancx |
$ [mm] \integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}=
[/mm]
[mm] =\integral_{A}^{}{xy d(x,y)} [/mm] $=
[mm] =\integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{r*sin\beta*r*r*d\beta*dr}=
[/mm]
mittleres r wegen substitution und das letzte r wegen der Determinante davon? ist wieder so ein schritt der mir nicht ganz klar war/ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Fr 25.09.2009 | | Autor: | clancx |
ich verstehe nicht ganz warum man [mm] r^{2} [/mm] substituiert und nicht einfach nur r für [mm] x^{2}+y^{2}...
[/mm]
$ [mm] \int\limits_{r=1}^{r=\sqrt{2}}\int\limits_{\beta=0}^{\beta=\frac{\pi}{2}}{r^3\sin(\beta)\cos(\beta) \ d\beta dr} [/mm] $=
= [mm] \int\limits_{r=1}^{r=\sqrt{2}}{r^3\bruch{1}{2}\sin^2(\bruch{\pi}{2})-{r^3\bruch{1}{2}\sin^2(0)} dr}=
[/mm]
[mm] =\int\limits_{r=1}^{r=\sqrt{2}}r^3*\bruch{1}{2}*1*dr=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*r^4*\bruch{1}{2}*1 [/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}*4-\bruch{1}{2}=
[/mm]
=0
hm dreimal durchgerechnet und immer wieder das gleiche ergebnis, bin jetzt schon gespannt wo ich mich verrechnet hab..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Fr 25.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x=rsin\beta
[/mm]
[mm] y=rcos\beta [/mm]
jetzt rechne mal [mm] x^2+y^2 [/mm] aus. Kommt da r raus?
Und zu deiner Rechng ganz am Ende, woher kommt das 1/2, wenn du in [mm] r^4/8 [/mm] 1 einsetzt???
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:52 Fr 25.09.2009 | | Autor: | clancx |
$ [mm] \int\limits_{r=1}^{r=\sqrt{2}}\int\limits_{\beta=0}^{\beta=\frac{\pi}{2}}{r^3\sin(\beta)\cos(\beta) \ d\beta dr} [/mm] $=
= $ [mm] \int\limits_{r=1}^{r=\sqrt{2}}{r^3\bruch{1}{2}\sin^2(\bruch{\pi}{2})-{r^3\bruch{1}{2}\sin^2(0)} dr}= [/mm] $
$ [mm] =\int\limits_{r=1}^{r=\sqrt{2}}r^3\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}1\cdot{}dr= [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}r^4\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}1 [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{8}\cdot{}4-\bruch{1}{8}= [/mm] $
[mm] =\bruch{3}{8}
[/mm]
hui,
also herzlichen dank an euch :)
und viel dank auch für eure geduld
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:03 Fr 25.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die = Zeichen sind so falsch, aber das Ergebnis richtig.
Gruss leduart
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Das geht ohne Substitution wesentlich schneller:
[mm]\int_A xy~\mathrm{d}(x,y) = \int \limits_0^1 \left( \int \limits_{\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{2 - x^2}} xy~\mathrm{d}y \right)~\mathrm{d}x \ + \ \int \limits_1^{\sqrt{2}} \left( \int \limits_{0}^{\sqrt{2 - x^2}} xy~\mathrm{d}y \right)~\mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{1}{2}x~\mathrm{d}x \ + \ \int_1^{\sqrt{2}} \left( - \frac{1}{2}x^3 + x \right)~\mathrm{d}x = \frac{3}{8}[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Funktionaldeterminate